Цисоїда Діокла

Мал. 1. Побудова цисоїди. Синя і червона лінії — гілки цисоїди.

Цисоїда Діокла — плоска алгебрична крива третього порядку. В декартовій системі координат, де вісь абсцис спрямована за $OX$, а вісь ординат за $OY$на відрізку $OA=2a$, як на діаметрі будується допоміжне коло. В точці $A$ проводиться дотична $UV$. З точки $O$ проводиться довільна пряма $OF$, яка перетинає коло в точці $E$ і дотичну в точці $F$. Від точки $F$у напрямку точки $O$, відкладається відрізок $FM$, довжина якого дорівнює довжині відрізка $OE$. При обертанні лінії $OF$ навколо точки $O$, точка $M$ описує лінію, яка називається цисоїда Діокла. Дві гілки цієї лінії на мал. 1 показані синім і червоним кольорами.

Рівняння

Рівняння цисоїди в прямокутній системі координат записується так:

$y^2=\frac{x^3}{2a-x}.(1)$

Рівняння цисоїди в полярній системі координат:

$\rho =\frac{2a{\sin }^2\phi }{\cos \phi }.$

Іноді рівняння цисоїди в полярній системі координат записують так:

$\rho =\frac{2a(1-{\cos }^2\phi )}{\cos \phi }=$

$=2a(\frac{1}{\cos \phi }-\cos \phi )=$

$=2a(\sec \phi -\cos \phi ).$

Параметричне рівняння цисоїди:

$x=\frac{2a{u}^2}{1+u^2},$ $y=\frac{2a{u}^3}{1+u^2},$

де

$u=\mathrm{t}\mathrm{g}\phi$.

Історія

Вперше цисоїду досліджував грецький математик Діокл у II столітті до н. е. Діокл будував криву так: знаходиться точка $P$, розташована на допоміжному колі симетрично точці $E$; вісь симетрії — діаметр $BD$. З точки $P$ проводиться перпендикуляр до осі абсцис. Точка $M$, що належить цисоїді, знаходиться на перетині цього перпендикуляра і прямої $OE$. Цим методом Діокл побудував тільки криву $DOB$ всередині допоміжного кола. Якщо цю частину цисоїди ($DOB$) замкнути дугою кола $EAD$, то виходить фігура, що нагадує своєю формою листок плюща. Грецькою плющ — Шаблон:Lang-grc2 («хіссос»), від чого й походить назва кривої — «цисоїда».

В сучасному вигляді цисоїду відтворив французький математик Шаблон:Нп у 1640 році. Пізніше цисоїду також досліджував голландський математик Шаблон:Нп.

Властивості

• Цисоїда симетрична відносно осі абсцис.
• Цисоїда перетинає допоміжне коло в точках $B$ і $D$, які належать діаметру цього кола.
• Цисоїда має один касп і асимптоту $UV$, рівняння якої: $x=2a$, де $a$ — радіус допоміжного кола.
• Цисоїда є евольвентою параболи з каспом у вершині параболи. При цьому директриса параболи є асимптотою цисоїди.

Площа між цисоїдою і асимптотою

Ця площа дорівнює:

$S_1=3\pi a^2.$

Об'єм тіла обертання

Об'єм ($V_1$) тіла, утвореного при обертанні гілки $OL$ навколо осі абсцис, розраховується так:

$V_1=\pi \underset{0}{\overset{2a}{\int }}\frac{x^3}{2a-x}dx=$

$=\pi \underset{0}{\overset{2a}{\int }}(-x^2-2ax-4a^2+\frac{8a^3}{2a-x})dx=$

$={-\frac{44\pi a^3}{3}-8\pi a^3(\ln (2a-x))|}_0^{2a}.$

Якщо $x\to 2a$, то $\ln (2a-x)\to -\mathrm{\infty }$, тобто $V_1\to \mathrm{\infty }$.

Див. також

• Конхоїда Слюза