Хі-функція Лежандра

Хі-функція Лежандра — це спеціальна функція, названа ім'ям французького математика Адрієн-Марі Лежандра. Визначається рядом Тейлора, який також є рядом Діріхле:

${\chi }_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1{)}^{\nu }}.$

Таким чином, Хі-функція Лежандра тривіально виражається через полілогарифм:

${\chi }_{\nu }(z)=\frac{1}{2}[{\mathrm{Li}}_{\nu }(z)-{\mathrm{Li}}_{\nu }(-z)]$

Хі-функція Лежандра виникає в дискретному перетворенні Фур'є, за індексом ν дзета-функції Гурвіца, а також многочленів Ейлера.

Хі-функція Лежандра є окремим випадком Шаблон:Iw:

${\chi }_n(z)=2^{-n}z\mathrm{\Phi }(z^2,n,1/2).$

Тотожності

${\chi }_2(x)+{\chi }_2(1/x)=\frac{{\pi }^2}{4}-\frac{i\pi }{2}\ln |x|.$

$\frac{d}{dx}{\chi }_2(x)=\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}x}{x}.$

Інтегральні співвідношення

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arcsin (r\sin \theta )d\theta ={\chi }_2\left(r\right)$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arctan (r\sin \theta )d\theta =-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{r\theta \cos \theta }{1+r^2{\sin }^2\theta }d\theta =2{\chi }_2\left(\frac{\sqrt{1+r^2}-1}{r}\right)$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arctan (p\sin \theta )\arctan (q\sin \theta )d\theta =\pi {\chi }_2(\frac{\sqrt{1+p^2}-1}{p}\cdot \frac{\sqrt{1+q^2}-1}{q})$

$\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}\frac{dxdy}{1-x^2{y}^2}={\chi }_2(\alpha \beta ),\text{якщо}|\alpha \beta |\le 1$

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття

Посилання

• Шаблон:Mathworld