Хвильове рівняння

Шаблон:UniboxХвильове́ рівня́ння — рівняння, яке описує розповсюдження хвиль у просторі.

Хвильове рівняння є зазвичай рівнянням другого порядку у часткових похідних гіперболічного типу, хоча існують хвильові рівняння інших порядків та інших типів.

У одновимірному випадку хвильове рівняння записується так:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\frac{1}{s^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=0,$

де u — невідома функція, яка описує хвилю, x — просторова координата, t — час, s — фазова швидкість поширення хвилі.

Розв'язки

Хвильові рівняння мають багато можливих розв'язків. Реалізація того чи іншого із них залежить від граничних та початкових умов: від того, як хвиля народилася, які перешкоди зустрічає на своєму шляху тощо.

Загальний розв'язок хвильового рівняння подається суперпозицією функцій типу

$u=u_0\cos (kx-\omega t-\phi ),$

де $u_0$ — амплітуда хвилі, k — хвильове число, ω — циклічна частота, $\phi$ — фаза хвилі.

Хвильове число та частота зв'язані між собою дисперсійним співвідношенням

$k=\frac{\omega }{s}$

Інші типи хвильових рівнянь

Вільна частка описується у квантовій механіці рівнянням Шредінгера. Це рівняння параболічного типу, проте комплексне.

Дисперсійне співвідношення у ньому зв'язує енергію частки із її хвильовим вектором.

У релятивістській квантовій механіці використовуються рівняння Дірака, рівняння Клейна-Гордона тощо. Ці рівняння теж описують поширення хвиль, тож належать до групи хвильових рівнянь.

Інтернет-ресурси

• Nonlinear Wave Equations by Stephen Wolfram and Rob Knapp, Nonlinear Wave Equation Explorer by Wolfram Demonstrations Project.
• Mathematical aspects of wave equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki
• Graham W Griffiths and William E. Schiesser (2009). Linear and nonlinear waves. Scholarpedia, 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308