Функція суми квадратів

У теорії чисел функція суми квадратів — арифметична функція, яка дає кількість подань натурального числа Шаблон:Math як суми Шаблон:Math квадратів, де подання, які відрізняються лише порядком доданків або знаками чисел, які підносять до квадрата, вважають різними і позначають Шаблон:Math.

Визначення

Функцію визначають як

$r_k(n)=|\{(a_1,a_2,\dots ,a_k)\in {\mathbb{Z}}^k:n=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_k^2\}|$

де $||$ позначає потужність множини. Іншими словами, Шаблон:Math — це кількість способів, якими Шаблон:Math можна записати як суму Шаблон:Math квадратів.

Наприклад, $r_2(1)=4$, оскільки $1=0^2+(\pm 1{)}^2=(\pm 1{)}^2+0^2$ де кожна сума має дві комбінації знаків, а також $r_2(2)=4$, оскільки $2=(\pm 1{)}^2+(\pm 1{)}^2$ з чотирма комбінаціями знаків. З іншого боку, $r_2(3)=0$, тому що немає способу подати 3 як суму двох квадратів.

Формули

k = 3

Кількість способів запису натурального числа у вигляді суми двох квадратів визначається як Шаблон:Math:

$r_2(n)=4(d_1(n)-d_3(n))$

де Шаблон:Math — кількість дільників числа Шаблон:Math, рівних 1 за модулем 4, а Шаблон:Math — кількість дільників числа Шаблон:Math, рівних 3 за модулем 4. Використовуючи знак суми, вираз можна записати так:

$r_2(n)=4\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{d\mid n}{d\equiv 1,3(\mathrm{mod}4)}}(-1{)}^{(d-1)/2}$

Розклад на прості множники $n=2^g{p}_1^{f_1}{p}_2^{f_2}\cdots q_1^{h_1}{q}_2^{h_2}\cdots$, де $p_i$ — прості множники форми $p_i\equiv 1(\mathrm{mod}4),$ і $q_i$ — прості множники форми $q_i\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ дає іншу формулу

$r_2(n)=4(f_1+1)(f_2+1)\cdots$, якщо всі показники $h_1,h_2,\cdots$ парні. Якщо один або декілька $h_i$ непарні, тоді $r_2(n)=0$.

k = 4

Гаусс довів, що для вільного від квадратів числа Шаблон:Math

$r_3(n)=\{\begin{array}{cc}24h(-n),& \text{якщо }n\equiv 3(\mathrm{mod}8),\\ 0& \text{якщо }n\equiv 7(\mathrm{mod}8),\\ 12h(-4n)& \text{в інших випадках},\end{array}$

де Шаблон:Math — номер класу цілого числа Шаблон:Math.

Існують розширення формули Гауса на довільне ціле число Шаблон:Math.

k = 6

Кількість способів подати Шаблон:Math у вигляді суми чотирьох квадратів з'ясував Карл Густав Якоб Якобі: вона у вісім разів перевищує суму дільників Шаблон:Math, які не діляться на 4, тобто

$r_4(n)=8\sum _{d\mid n,4\nmid d}d.$

Подавши Шаблон:Math, де m — непарне ціле число, можна виразити $r_4(n)$ у термінах функції дільників так:

$r_4(n)=8\sigma (2^{\min \{k,1\}}m).$

k = 8

Кількість способів подати Шаблон:Math у вигляді суми шести квадратів визначають так:

$r_6(n)=4\sum _{d\mid n}{d}^2(4\left(\frac{-4}{n/d}\right)-\left(\frac{-4}{d}\right)),$

де $\left(\frac{\cdot }{\cdot }\right)$ є символом Кронекера.

k = 2

Якобі також знайшов явну формулу для випадку Шаблон:Math:

$r_8(n)=16\sum _{d\mid n}(-1{)}^{n+d}{d}^3.$

Твірна функція

Твірну функцію послідовності $r_k(n)$ для фіксованого Шаблон:Math можна виразити через тета-функцію Якобі:

$\vartheta (0;q{)}^k={\vartheta }_3^k(q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}_k(n)q^n,$

де

$\vartheta (0;q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=1+2q+2q^4+2q^9+2q^{16}+\cdots .$

Числові значення

Перші 30 значень для $r_k(n),k=1,\dots ,8$ наведено в таблиці:

n	=	r1(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)	r5(n)	r6(n)	r7(n)	r8(n)
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	22	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2×3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	23	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	32	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2×5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	22×3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2×7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3×5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	24	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2×32	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	22×5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136
21	3×7	0	0	48	256	1120	4608	29456	154112
22	2×11	0	0	24	288	1840	8160	31304	149184
23	23	0	0	0	192	1600	10560	49728	194688
24	23×3	0	0	24	96	1200	8224	52808	261184
25	52	2	12	30	248	1210	7812	43414	252016
26	2×13	0	8	72	336	2000	10200	52248	246176
27	33	0	0	32	320	2240	13120	68320	327040
28	22×7	0	0	0	192	1600	12480	74048	390784
29	29	0	8	72	240	1680	10104	68376	390240
30	2×3×5	0	0	48	576	2720	14144	71120	395136

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite OEIS
• Шаблон:Cite OEIS