Функція експоненційного типу

Графік сірої функції $e^{-\pi z^2}$, обмежений функцією щільности нормального розподілу у просторі дійсних чисел. Щільність нормального розподілу не є експоненційного типу, але червона і синя функції є її односторонніми наближеннями експоненційного типу $2\pi$.

В комплексному аналізі, галузі математики, голоморфну функцію називають функцією експоненціального типу C, якщо її зростання обмежене експоненційною функцією $e^{C|z|}$, для деякої дійсної константи $C$ при $|z|\to \mathrm{\infty }$. Якщо функція має таку властивість, то її можна виразити як певного роду збіжних сум рядів комплексних функцій, а також ясність щодо того, коли можна застосовувати такі прийоми, як сумування за Борелем, чи наприклад, застосувати перетворення Мелліна, або подати фукцію у вигляді розкладу Ейлера–Маклорена. У загальному випадку пояснюється теоремою Начбіна, яка визначає аналогічне поняття Ψ-типу в просторі всіх функцій $\mathrm{\Psi }(z)$ порівняно з $e^z$.

Основна ідея

Кажуть, що функція $f(z)$, визначена на комплексній площині, є експоненційним типом, якщо існують дійсні константи $M$ і $\tau$ такі, що

$|f(r{e}^{i\theta })|\le M{e}^{\tau r}$

при $r\to \mathrm{\infty }$. Тут комплексна змінна $z$ записана у формі $z=r{e}^{i\theta }$ аби підкреслити, що границя має виконуватися в усіх напрямках $\theta$. Якщо $\tau$ інфімум усіх таких $\tau$, тоді кажуть, що функція $f$ має експоненційний тип $\tau$.

Наприклад, нехай $f(z)=\sin (\pi z)$. Тоді кажуть що $\sin (\pi z)$ експоненційного типу $\pi$, оскільки $\pi$ є найменшим числом, яке обмежує зростання $\sin (\pi z)$ вздовж уявної осі. Отже, у цьому прикладі не можна застосувати теорему Карлсона, оскільки для її застосування потрібно функції експоненційного типу менше $\pi$. Подібним чином не можна застосовувати формулу Ейлера – Маклауріна, оскільки вона також виражає твердження, що базується на скінченних різниць.

Формальне означення

Про голоморфну функцію $F(z)$ кажуть, що вона експоненційного типу $\sigma >0$, якщо для кожного $\epsilon >0$ існує дійсне число $A_{\epsilon }$, що

$|F(z)|\le A_{\epsilon }{e}^{(\sigma +\epsilon )|z|}$

для $|z|\to \mathrm{\infty }$ де $z\in ℂ$. Кажуть $F(z)$, що вона експоненційного типу, якщо $F(z)$ експоненційного типу $\sigma$ для якогось $\sigma >0$. Число

$\tau (F)=\sigma =\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|z{|}^{-1}\log |F(z)|$

є експоненційним типом $F(z)$. Ця верхня границя означає границю супремуму відносини за межами заданого радіуса, як радіус прагне до нескінченності. Це теж межа, відмінний від максимального коефіцієнта в заданому радіусі, а радіус прагне до нескінченності. Верхня межа може існувати, навіть якщо максимуму на радіусі р не має меж, як Р йде в нескінченність. Наприклад, для функції

$F(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}$

значення

$(\underset{|z|=r}{\max }\log |F(z)|)/r$

при $r=10^{n!-1}$ асимптотичному для $(\log 10^{(n-1)!(n-1)-1})/10^{(n-1)!(n-1)-1}$, а тому прямує до нуля, при $n$ до нескінченності, проте $F(z)$ все ж є експоненційним типом 1, у чому можна переконатись розглянувши точку $z=10^{n!}$.

Експоненційний тип відносно симетричного опуклого тіла

Шаблон:Harvtxt узагальнив поняття експоненційний тип для цілої функції кількох комплексних змінних. Нехай $K$ опукла, компактна і симетрична підмножина ${ℝ}^n$. Відомо, що для кожної такої $K$ існує відповідна норма $\Vert \cdot {\Vert }_K$ з властивістю

$K=\{x\in {ℝ}^n:\Vert x{\Vert }_K\le 1\}.$

Тобто, $K$ одинична куля в ${ℝ}^n$ за мірою $\Vert \cdot {\Vert }_K$. Множину

$K^{*}=\{y\in {ℝ}^n:x\cdot y\le 1\text{ for all }x\in K\}$

називають полярною множиною, яка також є опуклою, компактною та симетричною підмножиною ${ℝ}^n$. До того ж можемо записати

$\Vert x{\Vert }_K=\underset{y\in K^{*}}{\sup }|x\cdot y|.$

Довизначимо $\Vert \cdot {\Vert }_K$ з ${ℝ}^n$ до ${ℂ}^n$ як

$\Vert z{\Vert }_K=\underset{y\in K^{*}}{\sup }|z\cdot y|.$

Про цілу функцію $F(z)$ $n$ -комплексних змінних кажуть що вона експоненційного типу відносно $K$ якщо для кожного $\epsilon >0$ існує дійснозначна константа $A_{\epsilon }$ така, що

$|F(z)|<A_{\epsilon }{e}^{2\pi (1+\epsilon )\Vert z{\Vert }_K}$

для всіх $z\in {ℂ}^n$.

Простір Фреше

Набір функцій експоненційного типу $\tau$ можуть утворювати повний рівномірний простір, а саме простір Фреше, до топологічно індукований зліченним сімейством норм

$\Vert f{\Vert }_n=\underset{z\in ℂ}{\sup }\exp [-(\tau +\frac{1}{n})|z|]|f(z)|.$

Див. також

• Теорема Пелі–Вінера
• Пелі–Вінера простору

Література

• Шаблон:Citation