Формула повороту Родрігеса

Шаблон:UniboxУ теорії тривимірних обертань, формула повороту Родрігеса (названа на честь Шаблон:Li) — дієвий алгоритм для обертання вектора у просторі, за заданими віссю та кутом.

Якщо $𝐯$ — вектор у ${ℝ}^3$ і $𝐤$ — одиничний вектор, що описує вісь обертання, навколо якої ми хочемо повернути $𝐯$ на кут $\theta$, то формула Родрігеса має вигляд:

${𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=𝐯\cos \theta +(𝐤\times 𝐯)\sin \theta +𝐤(𝐤\cdot 𝐯)(1-\cos \theta ).$

Виведення

Формула обертання Родрігеса обертає v на кут θ навколо осі z через розкладання його на складові паралельні і перпендикулярні до z, і, обертаючи тільки перпендикулярну складову

Для певної осі обертання z, яка представлена одиничним вектором k = (k_X, k_Y, k_Z), і вектором v = (v_X, v_Y, v_Z), який ми хочемо повернути, вектор

${𝐯}_z=(𝐤\cdot 𝐯)𝐤$

є складовою v паралельною до z, також відомою як проєкція вектора v на k, і вектор

${𝐯}_x=𝐯-{𝐯}_z=𝐯-(𝐤\cdot 𝐯)𝐤$

є проєкцією v на площину xy ортогональну до z, відомою як відкидання вектора.

Зауважте, що ми вибрали систему відліку xyz, в якій z вісь вирівняна з віссю повороту, а x вісь з відкиданням вектора v від k. Це спрощує демонстрацію, бо це має на увазі, що v лежить у площині xz і його складова v_y є нулем. Однак, xyz не збігається з XYZ в якій вектори v, k, v_x і v_z представлені. Наприклад, v = (v_X, v_Y, v_Z) ≠ (v_x, v_y, v_z). Інакше кажучи, формула Родрігеса незалежна від орієнтації в просторі системи відліку XYZ у якій v і k представлені.

Далі

$𝐰=𝐤\times 𝐯$.

Зауважимо, що v_x і w мають одну й ту саму довжину. За визначенням векторного добутку, довжина w становить:

$|𝐰|=|𝐤\times 𝐯|=|𝐤||𝐯|\sin \phi$

де φ позначає кут між z і v. з того, що k має одиничну довжину,

$|𝐰|=|𝐤\times 𝐯|=|𝐯|\sin \phi .$

Це збігається з довжиною v_x, обрахованою тригонометрично так:

$|{𝐯}_x|=|𝐯|\cos (\pi /2-\phi )=|𝐯|\sin \phi .$

Отже w можна розглядати як копію v_x обернуту на 90° навколо z. Використовуючи тригонометрію, ми можемо повернути v_x на θ навколо z, щоб отримати v_{x rot}. Його два компоненти щодо x і y є v_xcosθ і wsinθ, відповідно. Таким чином,

$\begin{array}{cc}{𝐯}_{x\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}& ={𝐯}_x\cos \theta +𝐰\sin \theta \\ & =(𝐯-(𝐤\cdot 𝐯)𝐤)\cos \theta +(𝐤\times 𝐯)\sin \theta .\end{array}$

v_{x rot} також можна записати як проєкцію на xy вектора, який ми повертаємо, v_rot. Тому що поворот навколо z не зачіпає v_z, другий компонент v_rot (тобто проєкція на z) збігається з v_z. Отже,

$\begin{array}{cc}{𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}& ={𝐯}_{x\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}+{𝐯}_{z\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\\ & ={𝐯}_{x\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}+{𝐯}_z\\ & =(𝐯-(𝐤\cdot 𝐯)𝐤)\cos \theta +(𝐤\times 𝐯)\sin \theta +(𝐤\cdot 𝐯)𝐤\\ & =𝐯\cos \theta +(𝐤\times 𝐯)\sin \theta +𝐤(𝐤\cdot 𝐯)(1-\cos \theta ),\end{array}$

як і вимагалось.

Матричний запис

Представивши v і k у вигляді вектор-стовпців і $𝐤$ як матрицю векторного добутку $[𝐤{]}_{\times }$, тобто,

$[𝐤{]}_{\times }𝐯=𝐤\times 𝐯=\left[\begin{array}{ccc}0& -k_3& k_2\\ k_3& 0& -k_1\\ -k_2& k_1& 0\end{array}\right]𝐯$,

Формулу Родрігеса можна записати так:

$\begin{array}{cc}{𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}& =𝐯\cos \theta +([𝐤{]}_{\times }𝐯)\sin \theta +𝐤({𝐤}^{𝖳}𝐯)(1-\cos \theta )\\ & =𝐯\cos \theta +[𝐤{]}_{\times }𝐯\sin \theta +𝐤{𝐤}^{𝖳}𝐯(1-\cos \theta ).\end{array}$

Використовуючи розклад потрійного векторного добутку, це можна записати як:

$\begin{array}{cc}{𝐯}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}& =([𝐤{]}_{\times }𝐯)\sin \theta +(𝐤({𝐤}^{𝖳}𝐯)-𝐯(𝐤\cdot 𝐤))(1-\cos \theta )+𝐯({𝐤}^{𝖳}𝐤)\\ & =𝐯+([𝐤{]}_{\times }𝐯)\sin \theta +([𝐤{]}_{\times }[𝐤{]}_{\times }𝐯)(1-\cos \theta ).\end{array}$

бо ${𝐤}^{𝖳}𝐤=1$ для нормалізованого вектора.

Остаточно, матриця повороту така:

$𝐑=𝐈+(\sin \theta )[𝐤{]}_{\times }+(1-\cos \theta )[𝐤{]}_{\times }[𝐤{]}_{\times }.$

Кватерніони і формула повороту

Якщо ми хочемо повернути $𝐯$ на кут $\theta$ навколо $𝐤$, тоді ми можемо записати це як кватерніон $q=(\cos (\theta /2),\sin (\theta /2)).$ Це одиничний кватерніон.

Тоді $p_{rot}=qv{q}^{-1}$, що після виконання множень переходить у формулу повороту Родрігеса.

Див. також

• Кватерніони і повороти простору

Посилання

• Шаблон:MathWorld