Формула повної ймовірності

Шаблон:Основи теорії ймовірностей Формула повної ймовірності дозволяє обчислити ймовірність деякої події через умовні ймовірності цієї події в припущенні якихось гіпотез, а також ймовірностей цих гіпотез.

Визначення

Нехай дано імовірнісний простір $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$, і повна група подій $\{B_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset ℱ$, таких що $\mathbb{P}(B_n)>0\mathrm{\forall }n$. Хай $A\in ℱ$ подія, що нас цікавить. Тоді

$\mathbb{P}(A)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(A\mid B_n)\mathbb{P}(B_n)$.

Зауваження

Формула повної ймовірності також має наступну інтерпретацію. Нехай $N$ — випадкова величина, що має розподіл

$\mathbb{P}(N=n)=\mathbb{P}(B_n)$.

Тоді

$\mathbb{P}(A)=𝔼[\mathbb{P}(A\mid N)]$,

тобто апріорна ймовірність події рівна середньому його апостеріорної ймовірності.

Приклади

Приклад 1

Задача:

Припустимо, прогноз погоди показує, що завтра з ймовірністю 0.6 (60%) буде сонячна погода. Відповідно те, що погода буде дощовою, дорівнює 0.4 (так як сума імовірностей подій, що складають повну групу дорівнює одиниці, тобто 100 відсоткам).

Також в нас є деякі дані по прогнозу на післязавтра: Якщо завтра буде сонячно, то ймовірність того, що післязавтра буде сонячно дорівнює 0.7

P(D2 = сонячно | D1 = сонячно) = 0.7

Якщо завтра буде дощ, то ймовірність того, що післязавтра буде сонячно дорівнює 0.4

P(D2 = сонячно | D1 = дощ) = 0.4

Знайти ймовірність того, що післязавтра буде сонячно.

Розв'язок:

Необхідно знайти дві події:

1. ймовірність того що і завтра і післязавтра буде сонячно. Вирахуємо це по теоремі добутку залежних подій: P(D2 = сонячно | P(D1 = сонячно)) * P(D1 = сонячно) = 0.7*0.6 = 0.42

2. Ймовірність того що завтра буде дощ а післязавтра буде сонячно.

P(D2 = сонячно | P(D1 = дощ)) * P(D1 = дощ) = 0.4*0.4 = 0.16

Після цього, необхідно скласти ймовірності цих двох подій. В результаті отримаємо ймовірність сонячної погоди післязавтра рівною 58%

Приклад 2

Припустимо, що дві різні фабрики виробляють електричні лампочки. Лампи фабрики X працюватимуть довше 5000 годин в 99% випадків, в той час як лампочки фабрики Y працюватимуть довше 5000 годин в 95% випадків. Відомо, що фабрика X поставляє 60% ламп, від загально доступної кількості, а фабрика Y поставляє решту 40% ламп. Який шанс, що придбана лампа працюватиме довше ніж 5000 годин?

Застосовуючи формулу повної ймовірності, маємо:

$\begin{array}{cc}P(A)& =P(A\mid B_X)\cdot P(B_X)+P(A\mid B_Y)\cdot P(B_Y)\\ & =\frac{99}{100}\cdot \frac{6}{10}+\frac{95}{100}\cdot \frac{4}{10}=\frac{594+380}{1000}=\frac{974}{1000}\end{array}$

де

• $P(B_X)=\frac{6}{10}$ — імовірність, що придбана лампа була виготовлена фабрикою X;
• $P(B_Y)=\frac{4}{10}$ — імовірність, що придбана лампа була виготовлена фабрикою Y;
• $P(A\mid B_X)=\frac{99}{100}$ — імовірність що лампа, виготовлена фабрикою X працюватиме більше ніж 5000 годин;
• $P(A\mid B_Y)=\frac{95}{100}$ — імовірність що лампа, виготовлена фабрикою Y працюватиме більше ніж 5000 годин.

Таким чином існує імовірність в 97.4%, що кожна придбана лампа буде працювати більше ніж 5000 годин.

Див. також

• Правило повного математичного сподівання
• Імовірність
• Умовна ймовірність
• Умовне математичне сподівання
• Теорема Баєса

Джерела

• Шаблон:Гнєденко.Курс теорії ймовірностей
• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. — Springer Verlag 2004. — ISBN 9781852337810
• Williams D. Probability with Martingales/ — Cambridge University Press, 1991/ — ISBN 0-521-40605-6