Формула Стірлінга

Формула Стірлінґа є наближенням для факторіалів при великих значеннях n, названа на честь Джеймса Стірлінґа. Формальне твердження формули

\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^{n} e^{- n} \sqrt{2 π n}} = 1

або

n! \approx n^{n} e^{- n} \sqrt{2 π n} (n \to \infty)

Збіжність та похибки

Формула Стірлінґа отримується із Асимптотичного розкладу Стірлінга для $Γ (z)$ та $n!$ :

Γ (z) = e^{- z} z^{z - 1 / 2} \sqrt{2 π} [\begin{matrix} 1 + \frac{1}{12 z} + \frac{1}{288 z^{2}} - \frac{139}{51840 z^{3}} - \frac{571}{2488320 z^{4}} + O (z^{- 5}) \end{matrix}]

де

(| \begin{matrix} a r g z \end{matrix} | < π)

(ряд Стірлінґа)

Ряд Стірлінґа особливо корисний для великих значень $| \begin{matrix} z \end{matrix} |$ : для дійсних додатних z абсолютна похибка менша ніж абсолютна величина останнього із взятих елементів ряду.

Рядом Стірлінґа також називається асимптотичний розклад логарифма від n!:

\log n! = n \log n - n + \frac{1}{2} \log (2 π n) + \frac{1}{12 n} - \frac{1}{360 n^{3}} + \frac{1}{1260 n^{5}} - \frac{1}{1680 n^{7}} + \dots

Відносна похибка формули Стірлінґа спадає із зростанням n, ця формула часто використовується для обчислення відношення двох факторіалів або гамма-функцій, оскільки в цьому випадку відносна похибка особливо важлива. Зауважимо зокрема що Формула Стірлінґа є просто першим наближенням для ряду Стірлінґа.

Спеціальні формули

n^{n} e^{- n} \sqrt{2 π n} < n! < n^{n} \sqrt{2 π n} e^{- n + \frac{1}{12 n}}

та

n! \approx n^{n} \sqrt{2 π n} e^{- n + \frac{1}{12 n} - \frac{1}{360 n^{2}} + . . .}

при

n \to \infty

Доведення

Грубо кажучи, найпростішу версію формули Стірлінґа можна швидко отримати, наближаючи суму

\ln n! = \sum_{j = 1}^{n} \ln j

до інтегралу

\sum_{j = 1}^{n} \ln j \approx \int_{1}^{n} \ln x d x = n \ln n - n + 1 .

Повна формула разом із точною похибкою може бути отримана наступним чином.Замість наближення Шаблон:Math, розглядається логарифм натуральний оскільки він є функцією, яка повільно змінюється

\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \dots + \ln n .

Від правої частини рівняння віднімаємо

\frac{1}{2} (\ln 1 + \ln n) = \frac{1}{2} \ln n,

і наближуємо методом трапецій інтеграл

\ln n! - \frac{1}{2} \ln n \approx \int_{1}^{n} \ln x d x = n \ln n - n + 1,

Похибка в цьому наближенні задається формулою Ейлера—Маклорена

\begin{matrix} \ln n! - \frac{1}{2} \ln n & = \frac{1}{2} \ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \dots + \ln (n - 1) + \frac{1}{2} \ln n \\ = n \ln n - n + 1 + \sum_{k = 2}^{m} \frac{(- 1)^{k} B_{k}}{k (k - 1)} (\frac{1}{n^{k - 1}} - 1) + R_{m, n}, \end{matrix}

де Шаблон:Mvar — числа Бернуллі та Шаблон:Math — залишковий член у формулі Ейлера—Маклорена. Перейдемо до границі

\lim_{n \to \infty} (\ln n! - n \ln n + n - \frac{1}{2} \ln n) = 1 - \sum_{k = 2}^{m} \frac{(- 1)^{k} B_{k}}{k (k - 1)} + \lim_{n \to \infty} R_{m, n} .

Позначимо цю границю як Шаблон:Mvar. Оскільки залишок Шаблон:Math у формулі Ейлера—Маклорена задовольняє

R_{m, n} = \lim_{n \to \infty} R_{m, n} + O (\frac{1}{n^{m}}),

де ми використовуємо нотацію Ландау ,об'єднуючи вищенаведені рівняння, отримуємо наближену формулу в її логарифмічній формі

\ln n! = n \ln (\frac{n}{e}) + \frac{1}{2} \ln n + y + \sum_{k = 2}^{m} \frac{(- 1)^{k} B_{k}}{k (k - 1) n^{k - 1}} + O (\frac{1}{n^{m}}) .

Взявши експоненту обох сторін і вибираючи будь-яке натуральне Шаблон:Mvar,отримуємо формулу з невідомою величиною Шаблон:Mvar. Для Шаблон:Math формула набуває вигляду

n! = e^{y} \sqrt{n} {(\frac{n}{e})}^{n} (1 + O (\frac{1}{n})) .

Величина $e^{y}$ може бути знайдена, якщо в обох сторонах перейти до границі при $(n \to \infty)$ та застосувавши формулу Валліса, яка показує, що $e^{y} = \sqrt{2 π}$ . Таким чином, отримаємо формулу Стірлінґа

n! = \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} (1 + O (\frac{1}{n})) .

Історія

Формулу вперше відкрив Абрахам де Муавр у формі

n! \sim [c o n s t a n t] \cdot n^{n + 1 / 2} e^{- n}

Стірлінґ встановив що константа дорівнює $\sqrt{2 π}$ .

Джерела