Формула Ейлера — Маклорена

В математиці формула Ейлера — Маклорена визначає тісний зв'язок між інтегралами і рядами. Названа на честь швейцарського математика Леонарда Ейлера і шотландського математика Коліна Маклорена.

Твердження

Нехай p і q два цілих числа. Для 2k разів неперервно диференційованої на проміжку $[p,q]$, функції :

$\frac{f\left(p\right)+f\left(q\right)}{2}+\sum _{j=p+1}^{q-1}f\left(j\right)=\underset{p}{\overset{q}{\int }}f(x)dx+\sum _{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p))+R_k$

де :

$R_k=-\underset{p}{\overset{q}{\int }}{f}^{(2k)}(x)\frac{B_{2k}(x-\lfloor x\rfloor )}{(2k)!}dx,$

В даних формулах $B_i$ позначає i-й многочлен Бернуллі, $B_i(x-\lfloor x\rfloor )$ — періодизований многочлен Бернуллі. Числа b_i позначають числа Бернуллі : b₁ = −1/2, b₂ = 1/6, b₃ = 0, b₄ = −1/30, b₅ = 0, b₆ = 1/42, b₇ = 0, b₈ = −1/30.

Завдяки заміні змінних подібну формулу можна одержати для інтервалу межі якого не є цілими числами.

Доведення

Достатньо довести справедливість для інтервалу $[n,n+1]$ де $n\in \mathbb{Z}$ ; загальна формула одержується за допомогою сумування.

Нехай g — функція неперервно диференційована на інтервалі $[n,n+1]$ . Використовуючи властивість многочленів Бернуллі : $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}{B}_{k^{\prime }+1}=(k+1)B_k$, одержуємо з інтегрування частинами :

$\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}g\left(t\right)B_k(t-n)dt={\left[\frac{g\left(t\right)B_{k+1}(t-n)}{k+1}\right]}_n^{n+1}-\frac{1}{k+1}\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}{g}^{\prime }\left(t\right)B_{k+1}(t-n)dt$

Оскільки для $k\ge 2$, виконується $B_k\left(1\right)=B_k\left(0\right)=b_k$, одержуємо :

$\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}g\left(t\right)B_k(t-n)dt=\frac{b_{k+1}}{k+1}(g(n+1)-g\left(n\right))-\frac{1}{k+1}\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}{g}^{\prime }\left(t\right)B_{k+1}(t-n)dt$

Рекурентністю для k від 0 до 2p, приймаючи $g=f^{(2p)}$, одержується :

$\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{f\left(n\right)+f(n+1)}{2}+\sum _{k=2}^{2p}\frac{{(-1)}^{k-1}{b}_k}{k!}(f^{(k-1)}(n+1)-f^{(k-1)}\left(n\right))+\frac{1}{(2p)!}\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}{f}^{(2p)}\left(t\right)B_{2p}(t-n)dt$

З властивості : $\mathrm{\forall }k\ge 1,b_{2k+1}=0$, одержується :

$\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{f\left(n\right)+f(n+1)}{2}+\sum _{k=2}^{\lfloor \frac{p}{2}\rfloor }\frac{b_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(n+1)-f^{(2k-1)}\left(n\right))+\frac{1}{(2p)!}\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}{f}^{(2p)}\left(t\right)B_{2p}(t-n)dt$

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Цегелик Г.Г. Чисельні методи. – Львів: Видавничий центр Львівського національного університету, 2004. – 408 с
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9
• Шаблон:MathWorld