Узагальнений власний вектор

У лінійній алгебрі, узагальнений власний вектор матриці $A$ розміру $n\times n$ це вектор, що задовольняє певним критеріям, слабкішим ніж у випадку (звичайного) власного вектора.

Нехай $V$ буде $n$-вимірним векторним простором; нехай $\varphi$ це лінійне відображення з Шаблон:Math, множини всіх лінійних відображень з $V$ на себе; і нехай $A$ буде матричним представленням $\varphi$ щодо певного впорядкованого базису.

Не завжди існує повний набір з $n$ лінійно незалежних власних векторів $A,$ які формують повний базис для $V$. Тобто, матриця $A$ може бути недіагоналізовною. Це трапляється коли алгебрична кратність хоча б одного власного значення ${\lambda }_i$ більша ніж його геометрична кратність (ступінь виродженості матриці $(A-{\lambda }_{i}I)$, або вимірність її нульового простору). У такому разі, ${\lambda }_i$ називається дефектним власним значенням, а $A$ називається дефектною матрицею.

Узагальнений власний вектор $x_i$, що відповідає ${\lambda }_i$, разом із матрицею $(A-{\lambda }_{i}I)$ породжує жорданів ланцюг лінійно незалежних узагальнених власних векторів, які утворюють базис для інваріантного підпростору $V$.

Використовуючи узагальнені власні вектори, множину лінійно незалежних власних векторів $A$ можна розширити, якщо необхідно, до повного базису $V$. Цей базис можна використати для побудови майже діагональної матриці $J$ у жордановій нормальній формі, подібну до $A$, що корисно для обчислення певних матричних функцій від $A$. Матриця $J$ також корисна для розв'язання систем лінійних диференціальних рівнянь ${𝐱}^{\prime }=A𝐱,$ де $A$ має бути діагоналізовною.

Розмірність узагальненого власного простору відповідного заданому власному значеню $\lambda$ збігається з алгебричною кратністю $\lambda$.

Огляд і означення

Існує декілька тотожних способів означити звичайний в-вектор. Тут ми вважатимемо, що в-вектор $𝐮$ пов'язаний з в-значенням $\lambda$ матриці $A$ розміру $n\times n$ це ненульовий вектор, для якого $(A-\lambda I)𝐮=\mathrm{𝟎}$, де $I$ це $n\times n$ одинична матриця і $\mathrm{𝟎}$ це нульовий вектор завдовжки $n$. Тобто, $𝐮$ це вектор з ядра відображення $(A-\lambda I)$. Якщо $A$ має $n$ лінійно незалежних в-векторів, тоді $A$ подібна діагональній матриці $D$. Тобто, існує оборотна матриця $M$ така, що $A$ діагоналізовна через перетворення подібності $D=M^{-1}AM$. Матриця $D$ це спектральна матриця для $A$. Матрицю $M$ називають модальною матрицею для $A$. Діагоналізовні матриці становлять особливий інтерес завдяки тому, що їхні матричні функції легко обчислити.

З іншого боку, якщо $A$ не має $n$ лінійно незалежних векторів, тоді $A$ не діагоналізовна.

Означення: Вектор ${𝐱}_m$ це узагальнений власний вектор рангу m матриці $A$, що відповідає власному значенню $\lambda$ якщо

$(A-\lambda I{)}^m{𝐱}_m=\mathrm{𝟎}$

але

$(A-\lambda I{)}^{m-1}{𝐱}_m\ne \mathrm{𝟎}.$

Очевидно, що узагальнений в-вектор рангу 1 це звичайний в-вектор. Кожна $n\times n$ матриця $A$ має $n$ лінійно незалежних узагальнених в-векторів, можна показати, що вона подібна до майже діагональної матриці $J$ в жордановій нормальній формі. Тобто, існує оборотна матриця $M$ така, що $J=M^{-1}AM$. Тут матриця $M$ це узагальнена модальна матриця для $A$. Якщо $\lambda$ це в-значення алгебричної кратності $\mu$, тоді $A$ матиме $\mu$ лінійно незалежних в-векторів відповідних $\lambda$. Ці результати надають безпосередній метод обчислення певних матричних функцій для $A$.

Зауваження: для того, щоб матрицю $A$ розміру $n\times n$ над полем $F$ можна було виразити в жордановій нормальній формі, всі в-значення $A$ повинні бути в $F$. Тобто, має бути можливим повністю факторизувати характеристичний поліном $f(x)$ на лінійні множники. Наприклад, якщо $A$ має дійсно-значимі елементи, то дякі її в-значення і компоненти в-векторів можуть бути комплексні.

Підпростір натягнутий на всі узагальнені в-вектори для заданого $\lambda$, утворює узагальнений власний простір для $\lambda$.

Приклади

Наведемо декілька прикладів, щоб проілюструвати концепцію узагальнених в-векторів.

Приклад 1

Цей приклад просто, але ясно висвітлює ідею. Такий тип матриць можна часто зустріти в підручниках. Покладемо

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$

Тут лише одне в-значення, $\lambda =1$, і його алгебрична кратність m = 2.

Зауважте, що ця матриця в жордановій нормальній формі, але не діагональна. З цього ясно, що матриця недіагоналізовна. Через те, що наявний один наддіагональний елемент, маємо один узагальнений в-вектор рангу більше ніж 1 (також можна помітити, що векторний простір $V$ двовимірний, тому може бути не більше ніж один узагальнений вектор рангу більше ніж 1). Інакше, можна обчислити розмірність p нульового простору $A-\lambda I$, яка дорівнює 1, і отже існує m – p = 1 узагальнений в-вектор рангу більше ніж 1.

Звичайний в-вектор ${𝐯}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ можна обчислити як зазвичай. Далі, використовуючи цей в-вектор, можна обчислити узагальнений в-вектор ${𝐯}_2$ розв'язавши

$(A-\lambda I){𝐯}_2={𝐯}_1.$

Це можна розписати як:

$(\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right))\left(\begin{array}{c}{v}_{21}\\ v_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_{21}\\ v_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right).$

І спростити до:

$v_{22}=1.$

На елемент $v_{21}$ немає обмежень. Виходить, що узагальнений в-вектор рангу 2 це ${𝐯}_2=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\end{array}\right)$, де a може бути будь-яким скалярним значенням. Зазвичай, найпростішим вибором буде a = 0.

Зауважте, що

$(A-\lambda I){𝐯}_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)={𝐯}_1,$

тобто ${𝐯}_2$ це узагальнений в-вектор,

$(A-\lambda I){𝐯}_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)=\mathrm{𝟎},$

отже ${𝐯}_1$ це звичайний в-вектор, і вектори ${𝐯}_1$ та ${𝐯}_2$ лінійно незалежні, а значить є базисом для векторного простору $V$.

Приклад 2

Цей приклад складніший ніж попередній. На жаль, вельми складно підібрати цікавий приклад маленького розміру. Матриця

$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 3& 1& 0& 0& 0\\ 6& 3& 2& 0& 0\\ 10& 6& 3& 2& 0\\ 15& 10& 6& 3& 2\end{array}\right)$

має такі в-значення ${\lambda }_1=1$ і ${\lambda }_2=2$ із алгебричними кратностями ${\mu }_1=2$ and ${\mu }_2=3$, але їхні геометричні кратності${\gamma }_1=1$ і ${\gamma }_2=1$.

Узагальнені в-простори $A$ обчислено нижче. ${𝐱}_1$ це звичайний в-вектор для ${\lambda }_1$. ${𝐱}_2$ це узагальнений в-вектор для ${\lambda }_1$. ${𝐲}_1$ це звичайний в-вектор для ${\lambda }_2$. ${𝐲}_2$ і ${𝐲}_3$ це узагальнені в-вектори для with ${\lambda }_2$.

$(A-1I){𝐱}_1=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 3& 0& 0& 0& 0\\ 6& 3& 1& 0& 0\\ 10& 6& 3& 1& 0\\ 15& 10& 6& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -9\\ 9\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\mathrm{𝟎},$

$(A-1I){𝐱}_2=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 3& 0& 0& 0& 0\\ 6& 3& 1& 0& 0\\ 10& 6& 3& 1& 0\\ 15& 10& 6& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -15\\ 30\\ -1\\ -45\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -9\\ 9\\ -3\end{array}\right)={𝐱}_1,$

$(A-2I){𝐲}_1=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0& 0\\ 6& 3& 0& 0& 0\\ 10& 6& 3& 0& 0\\ 15& 10& 6& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\mathrm{𝟎},$

$(A-2I){𝐲}_2=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0& 0\\ 6& 3& 0& 0& 0\\ 10& 6& 3& 0& 0\\ 15& 10& 6& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 9\end{array}\right)={𝐲}_1,$

$(A-2I){𝐲}_3=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0& 0\\ 6& 3& 0& 0& 0\\ 10& 6& 3& 0& 0\\ 15& 10& 6& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ -2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)={𝐲}_2.$

В-вектори, звичайні й узагальнені, зібрані в базиси узагальнених в-просторів матриці $A$. Два ланцюги разом породжують простір 5-вимірних векторів стовпчиків.

$\{{𝐱}_1,{𝐱}_2\}=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -9\\ 9\\ -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -15\\ 30\\ -1\\ -45\end{array}\right)\right\},\{{𝐲}_1,{𝐲}_2,{𝐲}_3\}=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ -2\\ 0\end{array}\right)\right\}.$

Майже діагональну в жордановій нормальній формі матрицю $J$, подібну до $A$ отримуємо так:

$M=\left(\begin{array}{ccccc}{𝐱}_1& {𝐱}_2& {𝐲}_1& {𝐲}_2& {𝐲}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 3& -15& 0& 0& 0\\ -9& 30& 0& 0& 1\\ 9& -1& 0& 3& -2\\ -3& -45& 9& 0& 0\end{array}\right),$

$J=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& 2\end{array}\right),$

де $M$ це узагальнена модальна матриця для $A$, стовпчики $M$ складають канонічний базис для $A$, а $AM=MJ$.

Жорданові ланцюги

Означення: Нехай ${𝐱}_m$ буде узагальненим в-вектором рангу m, що відповідає в-значенню $\lambda$ матриці $A.$ Ланцюг утворений ${𝐱}_m$ це множина векторів $\{{𝐱}_m,{𝐱}_{m-1},\dots ,{𝐱}_1\}$ таким чином

Тобто, маємо таку формулу,

Вектор ${𝐱}_j$, обчислений за (Шаблон:EquationNote), це узагальнений в-вектор рангу j, що відповідє в-значенню $\lambda$. Ланцюг являє собою лінійно незалежну множину векторів.

Канонічний базис

Означення: Множина з n лінійно незалежних узагальнених векторів утворена винятково жордановими ланцюгами це канонічний базис.

Отже, щойно ми визначили, що узагальнений в-вектор рангу m приналежить канонічному базису, з цього випливає, що m − 1 vectors ${𝐱}_{m-1},{𝐱}_{m-2},\dots ,{𝐱}_1,$ які входять до жорданового ланцюга породженого ${𝐱}_m$ також приналежать канонічному базису.

Нехай ${\lambda }_i$ буде в-значенням алгебричної кратності ${\mu }_i$ матриці $A$ розміру $n\times n.$ Спочатку знайдімо ранги матриць $(A-{\lambda }_{i}I),(A-{\lambda }_{i}I{)}^2,\dots ,(A-{\lambda }_{i}I{)}^{m_i}.$ Ціле число $m_i$ визначається як перше ціле для якого $(A-{\lambda }_{i}I{)}^{m_i}$ має ранг $n-{\mu }_i.$

Тепер визначимо

${\rho }_k=\mathrm{rank}(A-{\lambda }_{i}I{)}^{k-1}-\mathrm{rank}(A-{\lambda }_{i}I{)}^k(k=1,2,\dots ,m_i).$

Змінна ${\rho }_k$ позначає число лінійно незалежних узагальнених в-векторів рангу k, що відповідають в-значенню ${\lambda }_i,$ які з'являться в канонічному базисі для$A$. Зауважте, що

$\mathrm{rank}(A-{\lambda }_{i}I{)}^0=\mathrm{rank}(I)=n$.

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation