Тривіальні об'єкти в алгебрі
В алгебрі (розділі математики) багато алгебраїчних структур мають тривіальні, тобто найпростіші об'єкти. Як множини, вони складаються з одного елементу, що позначається символом «0», а сам об'єкт — «{0}» або просто «0» залежно від контексту (наприклад, в точних послідовностях). Об'єкти, відповідні тривіальним випадкам, важливі для уніфікації міркувань: наприклад, зручніше сказати, що «рішення рівняння [[Ядро (алгебра)|Шаблон:Math]] завжди складає лінійний простір», ніж робити застереження «... або множина {0}».
Найважливішими з таких об'єктів є:
- Тривіальна група, найпростіша з груп. Є також найпростішою з абелевих груп, і всі перелічені нижче об'єкти наслідують її структуру, відому як додавання
- Тривіальне кільце, найпростіше з кілець.
- Нульовий (тривіальний) модуль, найпростіший з модулів над заданим кільцем Шаблон:Mvar.
- Нульовий лінійний простір над полем Шаблон:Mvar, найпростіший з лінійних просторів.
- Нульова алгебра, найпростіша з алгебр над кільцем або над полем Шаблон:Mvar.
У трьох останніх випадках множення на скаляр визначається як Шаблон:Math, де Шаблон:Math.
Будь-яка нульова алгебра також тривіальна як кільце. Нульова алгебра над полем є нульовим лінійним простором, а над кільцем — нульовим модулем.
Трактування за допомогою теорії категорій
З точки зору теорії категорій, тривіальний об'єкт є термінальним, а іноді (в залежності від визначення морфізму) нульовим (тобто одночасно термінальним і початковим) об'єктом.
Тривіальний об'єкт єдиний з точністю до ізоморфізму.
Термінальність тривіального об'єкта означає, що морфізм Шаблон:Math існує і єдиний для будь-якого об'єкта Шаблон:Mvar в категорії. Цей морфізм показує будь-який елемент об'єкта Шаблон:Mvar в Шаблон:Math.
| 2↕ | = | [ ] | <0 | ||
| ↔ 1 |
^ 0 |
↔ 1 |
|||
| Елемент нульового простору, записаний як порожній вектор-стовпець (праворуч), помножений на порожню матрицю 2×0 для отримання 2-вимірного нульового вектора (зліва). З дотриманням правил множення матриць | |||||
У категоріях Rng (кілець без обов'язкової одиниці), Шаблон:Не перекладено і VectШаблон:Mvar, тривіальне кільце, нульові модулі й простір відповідно є нульовими об'єктами. Нульовий об'єкт визначається як початковий, тобто морфізм Шаблон:Math існує і єдиний для будь-якого об'єкта Шаблон:Mvar в категорії. Цей морфізм показує Шаблон:Math, єдиний елемент об'єкта Шаблон:Math, де Шаблон:Math. Це мономорфізм, і його образ (підмодуль/підпростір в Шаблон:Mvar породжений нулем елементів) ізоморфний {0}.
Структури з одиницею
У Шаблон:Не перекладено (нейтральним елементом множення) все не так однозначно. Коли визначення морфізму в категорії вимагає їхнього збереження, тривіальний об'єкт або є тільки термінальним (але не початковим), або відсутній зовсім (наприклад, коли визначення структури вимагає нерівність Шаблон:Math).
У категорії Ring кілець з одиницями, кільце цілих чисел Z початковий об'єкт, а не {0}.