Трапеція

Шаблон:Otheruses Шаблон:Багатокутник Трапе́ція (Шаблон:Lang-la, від Шаблон:Lang-grc — «столик») — це чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні, а інші дві сторони — не паралельні^[1]. Паралельні сторони називаються основами трапеції (сторони AB та DC на малюнку). Інші сторони називаються бічними сторонами (сторони AD та CB).

Виділяють два класи трапецій:

Рівнобічна трапеція, тобто трапеція у якої бічні сторони рівні.
Прямокутна трапеція — це трапеція у якої два кута прямі.

Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції. Середня лінія паралельна основам трапеції, а її довжина дорівнює їх півсумі:

l = \frac{a + b}{2} .

Відстань h між основами трапеції називається висотою трапеції.

Етимологія

Термін трапеція походить від Шаблон:Lang-grc, trapézion, буквально «столик» — зменшувальна форма від Шаблон:Lang-el2 («стіл», звідки й «трапеза»), утвореного з Шаблон:Lang-el2 («чотири») + Шаблон:Lang-el2 («нога, ребро»)^[2]. У США і Канаді використовується термін trapezoid, що походить від Шаблон:Lang-el2 («столоподібний»); перше задокументоване вживання цього терміна трапляється у Прокла (412—485 н. е.) у його коментарі до першої книги «Начал» Евкліда^[3].

Основні види трапецій

Трапецію називають прямокутною, якщо у неї два сусідніх кути дорівнюють 90°.

Гострою називається трапеція у якої кути, прилеглі до більшої основи гострі (менше 90°).

Трапецію називають рівнобічною, якщо її бічні сторони та кути, прилеглі до більшої основи, рівні. Ця трапеція має осьову симетрію.

Тупою називається трапеція, у якої один із кутів, прилеглих до більшої основи, тупий (більше 90°).

Переважною є позиція, що окрім двох паралельних сторін, трапеція повинна мати дві непаралельні сторони^[1]. Проте іноді до трапецій включають всі паралелограми (ромби, прямокутники і квадрати), оскільки вони мають дві пари паралельних сторін. Прямокутники мають дзеркальну симетрію по середині ребер; ромби мають дзеркальну симетрію на вершинах, а квадрати мають дзеркальну симетрію з обох середніх ребер і вершин.

Дотичною називається трапеція, яка має вписане коло.

Властивості

Для будь-якого опуклого чотирикутника такі властивості еквівалентні, і кожна передбачає, що чотирикутник є трапецією:

Сума двох кутів, прилеглих до бічних ребер, дорівнює 180°.
Кут між однією основою і діагоналлю дорівнює куту між іншою основою та тією ж діагоналлю (внутрішні різносторонні кути рівні).
Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін та середини основ лежать на одній прямій.
Трикутники, утворені відрізками діагоналей та основами трапеції, подібні.
Трикутники, утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трапеції, мають однакову площу.
Відрізок, що з'єднує середини діагоналей, дорівнює піврізниці основ і лежить на середній лінії.
Бісектриса будь-якого кута трапеції відтинає на її основі (або продовженні) відрізок, рівний бічній стороні.
Якщо сума кутів при будь-якій основі трапеції дорівнює 90°, то відрізок, що з'єднує середини основ, дорівнює їх піврізниці.
Якщо сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін, то в таку трапецію можна вписати коло, і навпаки.
Будь-яку трапецію можна побудувати за довжинами чотирьох сторін.
В рівнобічній трапеції:
- кути при основі, а також діагоналі рівні
- якщо діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, то висота такої трапеції дорівнює півсумі основ
Навколо рівнобічної трапеції можна описати коло.

Висота трапеції

Висота — перпендикулярна відстань між основами. У разі, коли дві основи мають різну довжину (а ≠ b), висота трапеції може бути визначена через довжини чотирьох сторін за формулою:

h = \frac{\sqrt{(- a + b + c + d) (a - b + c + d) (a - b + c - d) (a - b - c + d)}}{2 | b - a |}

,

де a, b — основи трапеції, а c і d — бічні сторони. Формула висоти трапеції, виражена через бокові сторони та кути, що прилеглі до більшої основи:

h = c \cdot \sin α = d \cdot \sin β

Формула висоти трапеції, виражена через діагоналі та кути між ними:

h = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{a + b} \cdot \sin α = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{a + b} \cdot \sin β

.

Формула висоти трапеції, виражена через площу:

h = \frac{2 S}{a + b} = \frac{S}{m}

, де S — площа трапеції, m — середня лінія.

Площа трапеції

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту:

S = \frac{a + b}{2} h = l h

Коли відомі довжини всіх чотирьох сторін трапеції, можемо використовувати іншу формулу визначення площі. Якщо позначити основи трапеції $a$ та $b$ ( $b > a$ ), а бічні сторони $c$ та $d$ , то

S = \frac{1}{4} \frac{b + a}{b - a} \sqrt{(- a + b + c + d) (a - b + c + d) (a - b + c - d) (a - b - c + d)}

.

Або:

S = \frac{a + b}{2} \sqrt{c^{2} - {(\frac{(b - a)^{2} + c^{2} - d^{2}}{2 (b - a)})}^{2}}

.

В 499 році н. е. Аріабхата, великий математик-астроном з класичної епохи індійської математики та індійської астрономії, використовував окремий випадок добре відомої формули для площі трикутника, розглядаючи трикутник як вироджену трапецію, у якої одна з паралельних сторін стиснулася до точки. У такому випадку формула для находження площі зводиться до формули Герона для площі трикутника.

Інша еквівалентна формула для площі, яка ближче нагадує формулу Герона, є:

S = \frac{a + b}{| b - a |} \sqrt{(s - b) (s - a) (s - b - c) (s - b - d)},

де

s = \frac{1}{2} (a + b + c + d)

— півпериметр трапеції.

Площа рівнобічної трапеції з радіусом вписаного кола $r$ та кутом при основі $α$ :

S = \frac{4 r^{2}}{\sin α} .

Діагоналі

Довжину діагоналей трапеції можна обчислити за формулами:

p = \sqrt{\frac{a b^{2} - a^{2} b - a c^{2} + b d^{2}}{b - a}},

q = \sqrt{\frac{a b^{2} - a^{2} b - a d^{2} + b c^{2}}{b - a}},

де a, b — основи трапеції, а c і d — бічні сторони.

Якщо трапеція ділиться діагоналями AC і BD, що перетинаються в точці О, на чотири трикутники (як показано праворуч), то площа трикутника ΔAOD дорівнює площі трикутника ΔBOC, і добуток площ трикутників ΔAOD і ΔBOC дорівнює добутку площ трикутників ΔАОВ і ΔCOD. Відношення площ кожної пари суміжних трикутників таке ж, що між довжинами паралельних сторін.

Діагоналі трапеції $d_{1}$ та $d_{2}$ пов'язані зі сторонами співвідношенням:

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 a b + c^{2} + d^{2}

.

Їх можна знайти за формулами:

d_{1} = A C = \sqrt{a b + d^{2} + \frac{b (c^{2} - d^{2})}{b - a}}

d_{2} = B D = \sqrt{a b + c^{2} - \frac{b (c^{2} - d^{2})}{b - a}}

Також діагоналі можна знайти через висоту трапеції за наступними формулами:

d_{1} = \sqrt{b^{2} + d^{2} - 2 b \sqrt{d^{2} - h^{2}}} = \sqrt{h^{2} + {(b - \sqrt{d^{2} - h^{2}})}^{2}}

d_{2} = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b \sqrt{c^{2} - h^{2}}} = \sqrt{h^{2} + {(b - \sqrt{c^{2} - h^{2}})}^{2}}

Використовування в архітектурі

В архітектурі слово трапеція використовується для позначення симетричних дверей, вікон і будівель, побудованих ширше біля основи, звужених до вершини (в єгипетському стилі). Існує чимало будівель, що мають форму рівнобічної трапеції. Це був стандартний стиль для дверей і вікон у інків.^[4]

Примітки

Шаблон:Reflist

Див. також

Посилання

Шаблон:УСЕ-4
http://easycalculation.com/area/trapezium.php Шаблон:Webarchive
Trapezium Шаблон:Webarchive at Encyclopedia of Mathematics.
Шаблон:MathWorld
Trapezoid definition Шаблон:Webarchive Area of a trapezoid Шаблон:Webarchive Median of a trapezoid Шаблон:Webarchive With interactive animations
Trapezoid (North America) Шаблон:Webarchive at elsy.at: Animated course (construction, circumference, area)
Trapezoidal Rule Шаблон:Webarchive on Numerical Methods for Stem Undergraduate
Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications Шаблон:Webarchive, (2008)

↑ ^1,0 ^1,1 Шаблон:Cite web
↑ Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, A Greek-English Lexicon, Oxford, Clarendon Press (1940), s.v. πέζα Шаблон:Webarchive, τράπεζα Шаблон:Webarchive
↑ Oxford English Dictionary entry at trapezoid.
↑ Шаблон:Cite web

[:0-1] 1,0 ^1,1 Шаблон:Cite web

[2] Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, A Greek-English Lexicon, Oxford, Clarendon Press (1940), s.v. πέζα Шаблон:Webarchive, τράπεζα Шаблон:Webarchive

[3] Oxford English Dictionary entry at trapezoid.

[4] Шаблон:Cite web

[1]

[2]

[3]

[4]

Трапеція

Зміст

Етимологія

Основні види трапецій

Властивості

Висота трапеції

Площа трапеції

Діагоналі

Використовування в архітектурі

Примітки

Див. також

Посилання

Навігаційне меню

Трапеція

Етимологія

Основні види трапецій

Властивості

Висота трапеції

Площа трапеції

Діагоналі

Використовування в архітектурі

Примітки

Див. також

Посилання

Навігаційне меню

Пошук