Тотожність Якобі

Білінійна операція $[\cdot ,\cdot ]:V\times V\to V$ на лінійному просторі V задовольняє тотожність Якобі, якщо:

$\mathrm{\forall }x,y,z\in V:[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$

Названо на честь Карла Густава Якобі. Поняття тотожності Якобі зазвичай пов'язане з алгебрами Лі.

Приклади

Наступні операції задовольняють тотожність Якобі:

• Комутатор операторів
• Комутатор в алгебрі Лі
• Дужки Лі векторних полів
• Дужки Пуассона функцій на симплектичному многовиді
• Векторний добуток векторів

Значення в алгебрах Лі

Якщо множення $[\dot{,}\cdot ]$ є антикоммутативним $([x,y]=-[y,x])$, то тотожності Якобі можна надати дещо інший вигляд, використовуючи приєднане представлення алгебри Лі :

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x:y\mapsto [x,y]$

Записавши тотожність Якобі у формі

$[x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]$

отримаємо, що воно рівносильне умові виконання правила Лейбніца для оператора ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x$ :

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x[y,z]=[{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{x}y,z]+[y,{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{x}z]$

Таким чином, ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_x$ — диференціювання в алгебрі Лі. Будь—яке таке диференціювання називається внутрішнім. Тотожності Якобі також можна надати вигляду

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_{[x,y]}=[{\mathrm{a}\mathrm{d}}_x,{\mathrm{a}\mathrm{d}}_y]={\mathrm{a}\mathrm{d}}_x{\mathrm{a}\mathrm{d}}_y-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_y{\mathrm{a}\mathrm{d}}_x$

Це означає, що оператор $\mathrm{a}\mathrm{d}$ задає гомоморфізм даної алгебри Лі в алгебру Лі її диференціювань.

Градуйовані тотожності Якобі

Нехай $\omega ={\oplus }_i{\omega }^i$ — градуйована алгебра, $[\cdot ,\cdot ]$ — множення в ній. Кажуть, що множення в $\mathrm{\Omega }$ задовольняє градуйованій тотожності Якобі, якщо для будь—яких елементів ${\omega }_i\in {\omega }^i$

$[{\omega }_m,[{\omega }_k,{\omega }_l]=[[{\omega }_m,{\omega }_k],{\omega }_l]+(-1{)}^{mk}[{\omega }_k,[{\omega }_m,{\omega }_l]$

Посилання

• Шаблон:MathWorld