Тетраедр Ріва

Тетраедр Ріва

У геометрії тетраедр Ріва — це многогранник в тривимірному просторі з вершинами в точках $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ і $(1,1,r)$, де $r$ — натуральне число. Він названий на честь Джона Ріва, який використав його, щоб показати, що не існує багатовимірних узагальнень теореми Піка.

Контрприклад до узагальнення теореми Піка

Кожна вершина тетраедра Ріва лежить на фундаментальній точці гратки (точка в Шаблон:Math). Жодна інша точка гратки не лежить на поверхні чи усередині тетраедра. Об'єм тетраедра Ріва — $\frac{r}{6}$. У 1957 році Рів використав цей тетраедр, щоб показати, що існують тетраедри з чотирма точками гратки як вершинами і які не містять інших точок гратки, і при цьому мають значно більші об'єми.Шаблон:R

У двовимірному просторі площа кожного многогранника з вершинами на гратки визначається за допомогою формули через кількості точок гратки у його вершинах, на гранях та всередині многогранника відповідно до теореми Піка. Тетраедр Ріва показує, що не може бути відповідної формули об'єму в розмірності три і більше. Будь-яка така формула не змогла б відрізнити один від одного тетраедри Ріва з різними варіантами вибору $r$, хоча їх об'єми різні.Шаблон:R

Рів показав, що попри негативний результат, можна отримати іншу формулу об'єму многогранника через кількість точок гратки в многограннику, кількість точок тоншої гратки в многограннику та характеристику Ейлера для многогранника.Шаблон:R

Многочлен Ергарта

Многочлен Ергарта для будь-якого многогранника на ґратці визначає число точок ґратки, що він містить, при масштабуванні у натуральне число разів. Многочлен Ергарта для тетраедра Ріва ${𝒯}_r$ висоти $r$ має вигляд:Шаблон:R

$L({𝒯}_r,t)=\frac{r}{6}{t}^3+t^2+(2-\frac{r}{6})t+1.$

Таким чином, коефіцієнт при $t$ у многочлені Ергарта буде від'ємний, якщо $r\ge 13$. Цей приклад показує, що многочлени Ергарта іноді можуть мати від'ємні коефіцієнти.Шаблон:R