Теорія розсіювання

Шаблон:Інтервікі Математична теорія розсіювання — розділ теорії збурень. У теорії збурень докладна інформація про "незбурений" оператор $H_0$ дозволяє робити висновок про інший оператор $H$, якщо $H_0$ та $H$ мало відрізняються один від одного. У фізичних термінах гамільтоніан $H_0$ описує "вільну" систему (наприклад, не взаємодіючих одна із одною квантових частинок), а "повний" гамільтоніан $H$ - реальну систему із врахуванням взаємодії.

Загальні відомості

Теорія розсіювання займається лише будовою абсолютно неперервного спектра й вирішує дві пов'язані між собою задачі.

Перша - з них - дослідження поведінки при більших часах рішень нестаціонарного рівняння Шредінгера

$i\frac{du}{dt}=Hu,u(0)=f.$

При цьому асимпотика за $t\to \pm \mathrm{\infty }$ рішень цього рівняння із повним гамільтоніаном $H$ вивчається у термінах рішень рівняння із "вільним" оператором $H_0$.

Друга задача полягає у віднаходженні умов унітарної еквівалентності операторів $H_0$ та $H$, тобто їх абсолютно неперервних частин $H_0^{(a)}$ та $H^{(a)}.$

Нехай $H_0$ та $H$ - самоспряжені оператори у гільбертовому просторі $\mathscr{H}.$ Тоді вищенаведене рівняння має єдине рішення $u(t)=\exp (-iHt)f,$ а рішення такого ж рівняння із оператором $H_0$ дається формулою $u_0(t)=\exp (-i{H}_{0}t)f_0.$З точки зору теорії розсіювання функція $u(t)$ має "вільну" асимпотику за $t\to \pm \mathrm{\infty },$ якщо для підходячого початкового даного $f_0^{(\pm )},$ відшукуваного по $f,$ виконано

$\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }||u(t)-u_0^{\pm }(t)||=0,u_0^{\pm }(t)=\exp (-iHt)f_0^{\pm }.$

Це співвідношення приводить до зв'язку між відповідними початковими даними $f_0^{(\pm )}$ та $f$

$f=\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\exp (iHt)\exp (-i{H}_{0}t)f_0^{\pm }.$

Основне положення теорії розсіювання полягає у тому, що за достатньо широких припущень про пару $H_0$ та $H$ для початкового даного $f$ з абсолютно неперервного простору ${\mathscr{H}}^{(a)}$ оператора $H$ функція $u(t)$ виходить на вільну асимпотику.

Див. також

• Теорія збурень
• Матриця розсіяння