Теорема ван Обеля про трикутник

Шаблон:Інші значення Теорема ван Обеля про трикутник — класична теорема афінної геометрії.

Формулювання

Випадок, коли всі три точки лежать на сторонах трикутника, а не на їх продовженнях.

Випадок, коли дві точки лежать на продовженнях сторін.

Якщо прямі $AP$, $BP$, $CP$ перетинають відповідно прямі $BC$, $CA$ і $AB$, що містять сторони трикутника $ABC$, відповідно в точках $A_1$, $B_1$ і $C_1$, то виконується рівність відношень напрямлених відрізків:

$\frac{A{C}_1}{C_{1}B}+\frac{A{B}_1}{B_{1}C}=\frac{AP}{P{A}_1}$.

Зауваження

• Якщо відрізки співнапрямлені (однаково спрямовані), то верхні знаки напрямлених відрізків можна прибрати, і ми отримаємо скалярний варіант теореми ван Обеля:

  $\frac{A{C}_1}{C_{1}B}+\frac{A{B}_1}{B_{1}C}=\frac{AP}{P{A}_1}$.

Про доведення

Зазвичай доводиться застосуванням методу центрів мас; доведення можна також побудувати на основі теореми Менелая.

Див. також

• Теорема ван Обеля про чотирикутник