Теорема Ріса

Теорема Ріса (також теорема Ріса-Фреше) у функціональному аналізі стверджує, що кожен лінійний обмежений функціонал у гільбертовому просторі може бути представлений через скалярний добуток за допомогою деякого елементу.

Твердження

Нехай маємо:

• Гільбертів простір H
• Лінійний обмежений функціонал $f\in H^{\prime }$ у просторі $H$

Тоді існує єдиний елемент $y$ простору $H$ такий, що для довільного $x\in H$ виконується $f(x)=⟨y,x⟩$.

Також виконується рівність

$\Vert y\Vert =\Vert f\Vert$

Доведення

$\ker (f)$ ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором $H$.

Існування $y$

Якщо $f\equiv 0$, достатньо взяти $y=0$.

Якщо ж $f\ne 0$, тоді $\ker (f)\ne H$ . Відповідно можна знайти елемент $b\in \ker (f{)}^{\mathrm{\perp }}\setminus \{0\}$,

$\mathrm{\forall }x\in H$, позначимо $p_x=x-\frac{f(x)}{f(b)}b$.

Оскільки очевидно $p_x\in \ker (f)$ маємо за означенням b, що $⟨b,p_x⟩=0$. З лінійності скалярного добутку отримуємо:

$⟨b,x-\frac{f(x)}{f(b)}b⟩=0=⟨b,x⟩-\frac{f(x)}{f(b)}\Vert b{\Vert }^2$

Звідси $f(x)=⟨b,x⟩\frac{f(b)}{\Vert b{\Vert }^2}$.

Нарешті

$f(x)=⟨y,x⟩$

де позначено $y=\frac{f(b)}{\Vert b{\Vert }^2}b$.

Єдиність $y$

Припустимо $y$ і $z$ елементи $H$ Що задовольняють $f(x)=⟨y,x⟩=⟨z,x⟩$.

Для всіх $x\in H$ справджується $⟨y-z,x⟩=0$ зокрема $⟨y-z,y-z⟩=\Vert y-z{\Vert }^2=0$ звідки й отримується рівність $y=z$.

Рівність норм

Для доведення $\Vert y\Vert =\Vert f\Vert$ спершу з нерівності Коші-Буняковського маємо: $f(x)=⟨y,x⟩\le \Vert y\Vert \Vert x\Vert$. Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо: $\Vert f\Vert \le \Vert y\Vert .$ З іншого боку $f(y)=⟨y,y⟩\le \Vert y\Vert \Vert f\Vert$ звідки $\Vert y\Vert \le \Vert f\Vert$. Поєднуючи дві нерівності одержуємо $\Vert y\Vert =\Vert f\Vert$

Див. також

• Теорема Лакса-Мільграма

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Колмогоров.Фомин