Теорема Рімана — Роха

Теорема Рімана — Роха — твердження в комплексному аналізі, що визначає розмірність векторного простору мероморфних функцій ріманової поверхні з нулями і полюсами визначених порядків в заданих точках поверхні. Названа на честь німецьких математиків Бернхарда Рімана і Ґустава Роха.

Допоміжні визначення

Нехай X — компактна ріманова поверхня роду g. Групою дивізорів $\mathrm{div}(X)$ цієї поверхні називається вільна абелева група породжена точками X. Елементами $\mathrm{div}(X)$ є скінченні суми $\sum n_i{P}_i,n_1\in \mathbb{Z},P_i\in X$. Дивізор $D=\sum n_i{P}_i$ називається додатним (позначається $D\ge 0$), якщо всі $n_i\ge 0$. Також використовується позначення $D\ge D_1$ якщо $D-D_1\ge 0$. Порядок дивізора $\mathrm{deg}(D)$ визначається як $\mathrm{deg}(D)=\sum n_i$. Для мероморфної функції f визначеної в X можна визначити дивізор $\mathrm{div}(f)=\sum n_i{P}_i$, де $P_i$ — нулі і полюси функції f і $n_i=a$, якщо $P_i$ — нуль порядку a і $n_i=-a$, якщо $P_i$ — полюс порядку a. Дивізори D для яких існує мероморфна функція f така, що $D=\mathrm{div}(f)$ називаються головними. Два дивізори називаються лінійно еквівалентними, якщо їх різниця є головним дивізором. Оскільки порядок довільного головного дивізора рівний нулю то можна говорити також про порядок класу лінійної еквівалентності дивізорів. Якщо $\omega$ — диференційна мероморфна 1-форма на ній подібно до мероморфної функції можна задати дивізор. Оскільки $\mathrm{div}(f\omega )=\mathrm{div}(f)+\mathrm{div}(\omega )$ то всі такі дивізори (канонічні дивізори) належать одному класу. Такі дивізори найчастіше позначаються K. Позначимо тепер

$L(D):=\{f\in M(X)|\mathrm{div}(f)+D\ge 0\}$.

Дана множина є векторним простором над полем комплексних чисел. Його розмірність позначається $\ell (D)$.

Твердження теореми

З використанням введених вище позначень твердження теореми для X — компактної ріманової поверхні роду g запишеться:

$\ell (D)-\ell (K-D)=\mathrm{deg}D+1-g$

Література

• Jost, Jürgen (2006), Compact Riemann Surfaces, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-33065-3
• Shigeru Mukai; William Oxbury (translator) (2003). An Introduction to Invariants and Moduli. Cambridge studies in advanced mathematics. 81. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-80906-1.
• Misha Kapovich Шаблон:Webarchive, The Riemann-Roch Theorem Шаблон:Webarchive