Теорема Лохса

В теорії чисел, теорема Лохса — теорема про швидкість збіжності розкладу ланцюгового дробу типового дійсного числа. Доведення теореми було опубліковано Ґуставом Лохсом в 1964 році.

Теорема стверджує, що для практично всіх дійсних чисел в інтервалі (0,1) кількість членів m у розкладі ланцюгового дробу цього числа, необхідних для визначення перших n місць десяткового зображення числа асимптотично поводисться як:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{m}{n}=\frac{6\ln (2)\ln (10)}{{\pi }^2}\approx 0.97027014$ Шаблон:OEIS.

Оскільки ця межа лише трохи менша одиниці, що можна інтерпретувати як те, що кожен додатковий термін у розкладі ланцюгового дробу «типового» дійсного числа збільшує точність наближення приблизно на одну десяткову позицію. Десяткова система є останньою позиційною системою запису, для якої кожна цифра містить менше інформації, ніж одна частка (коефіцієнт) ланцюгового дробу; перехід до 11-вої бази (зміна $\ln (10)$ на $\ln (11)$у рівнянні) робить вищевказане значення більшим одиниці.

Три типові числа, і золотий перетин. Типові числа знаходяться на лінії приблизно 45°, оскільки кожен коефіцієнт ланцюгового дробу дає приблизно одну десяткову цифру. Золотий претин з іншого боку, — це число, яке вимагає більшої кількости коефіцієнтів для кожної цифри

Відносно цього ліміту,

$\frac{{\pi }^2}{6\ln (2)\ln (10)}\approx 1.03064083$ Шаблон:OEIS,

є вдвічі більшою за десятковий логарифм сталої Леві.

Яскравим прикладом числа, що не проявляє такої поведінки, є золотий перетин - іноді відоме як «найбільш ірраціональне» число — коефіцієнти ланцюгового дробу якого — всі одиниці, найменші можливі в канонічній формі. У середньому йому потрібно приблизно 2.39 коефіцієнтів ланцюгового дробу на кожну десяткову цифру