Теорема Лагранжа про чотири квадрати

Теорема Лагранжа про чотири квадрати стверджує, що довільне натуральне число можна подати у виді суми чотирьох квадратів цілих чисел.

Тобто для довільного натурального числа n, існують цілі числа a, b, c, d , такі що :

n = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}

Наприклад:

\begin{matrix} 1 & = 1^{2} + 0^{2} + 0^{2} + 0^{2} \\ 2 & = 1^{2} + 1^{2} + 0^{2} + 0^{2} \\ 3 & = 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 0^{2} \\ 31 & = 5^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 1^{2} \\ 310 & = 1 7^{2} + 4^{2} + 2^{2} + 1^{2} . \end{matrix}

Теорема доведена Лагранжем в 1770 році. Довільне натуральне число, що не записується у виді $4^{k} (8 m + 7)$ можна також записати як суму квадратів трьох чисел.

Доведення

Для найменших натуральних чисел 1 і 2 розклад записано вище. Також для всіх чисел виконується тотожність чотирьох квадратів:

$(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2}) =$

(a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} - a_{3} b_{3} - a_{4} b_{4})^{2} +

(a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{3} b_{4} - a_{4} b_{3})^{2} +

(a_{1} b_{3} - a_{2} b_{4} + a_{3} b_{1} + a_{4} b_{2})^{2} +

(a_{1} b_{4} + a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} + a_{4} b_{1})^{2} .

Звідси випливає, що якщо два довільні натуральні числа можна подати у виді суми чотирьох квадратів, то це ж можна зробити і для їх добутку. Відповідно твердження теореми достатньо довести для непарних простих чисел.

Спершу для такого простого числа $p$ існує натуральне число $0 < m < p$ для якого $m p = 1 + a^{2} + b^{2}$ для деяких цілих $a, b .$ Це випливає з того, що цілі числа $a^{2}$ для $0 ⩽ a ⩽ \frac{p - 1}{2}$ не є рівними за модулем $p .$ Справді, якщо для двох таких різних чисел $a_{1}^{2} \equiv a_{2}^{2} mod p$ то $(a_{1} - a_{2}) (a_{1} + a_{2}) \equiv 0 mod p$ і або різниця $a_{1} - a_{2}$ або сума $a_{1} + a_{2}$ ділиться на $p$ , що не є можливим.

Аналогічно числа $- b^{2} - 1$ для $0 ⩽ b ⩽ \frac{p - 1}{2}$ не є рівними за модулем $p .$ Загалом є $p + 1$ число виду $a^{2}$ або $- b^{2} - 1$ із вказаними умовами і відповідно хоча б два із них належать одному класу лишків за модулем $p$ . Це мають бути деякі числа $a^{2}$ і $- b^{2} - 1$ , тобто $a^{2} \equiv - b^{2} - 1 mod p$ і відповідно існує ціле число $m$ для якого $a^{2} + b^{2} + 1 = m p .$ Оскільки $a^{2}, b^{2} < {(\frac{p}{2})}^{2}$ то $a^{2} + b^{2} + 1 < 1 + 2 {(\frac{p}{2})}^{2} < p^{2}$ і звідси також $0 < m < p .$

Зокрема також число $m p$ є сумою чотирьох квадратів $m p = 0 + 1 + a^{2} + b^{2}$ і один із доданків не ділиться на $p$ .

Нехай тепер $m$ є мінімальним натуральним числом, для якого існує розклад у суму чотирьох квадратів $m p = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2},$ де хоча б одне із цілих чисел $x_{i}$ не ділиться на $p$ . Для доведення теореми Лагранжа достатньо довести, що $m = 1 .$

Число $m$ є непарним. Адже якщо $m$ є парним, то парним є і $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} .$ Але тоді або всі $x_{i}$ є парними або всі непарними або два парними і два непарними. В будь-якому випадку за допомогою перепозначень можна вважати, що $x_{1}$ і $x_{2}$ мають однакову парність, а також $x_{3}$ і $x_{4}$ мають однакову парність. Тоді:

\frac{m p}{2} = {(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{x_{1} - x_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{x_{3} + x_{4}}{2})}^{2} + {(\frac{x_{3} - x_{4}}{2})}^{2} .

Тобто $\frac{m p}{2}$ є сумою чотирьох квадратів не всі з яких діляться на $p$ і це суперечить мінімальності числа $m$ .

Якщо $m ⩾ 3$ є непарним числом, то існують числа $y_{i},$ які є рівними $x_{i}$ за модулем $m$ і $| y_{i} | < \frac{m}{2} .$ Також не всі $x_{i}$ діляться на $m$ (в іншому випадку сума їх квадратів, яка є рівною $m p$ , ділилася б на $m^{2},$ що не є можливим для $0 < m < p$ ) і тому хоча б одне із чисел $y_{i}$ не є рівним 0. Відповідно згідно означень

0 < y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} + y_{4}^{2} < 4 {(\frac{m}{2})}^{2} = m^{2}

Водночас $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} + y_{4}^{2} \equiv 0 mod m$ і існує ціле число $m_{2} < m$ для якого $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} + y_{4}^{2} = m_{2} m .$

Згідно тотожності чотирьох квадратів добуток $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}$ і $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2} + y_{4}^{2}$ є рівний сумі квадратів деяких чотирьох цілих чисел і також:

z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} + z_{4}^{2} = m^{2} m_{2} p .

Розглядаючи означення усіх $z_{i}$ у тотожності чотирьох квадратів і враховуючи, що $x_{i}$ і $y_{i}$ є рівними за модулем $m$ одержується, що всі $z_{i}$ діляться на $m$ , тобто $z_{i} = m t_{i}$ . Ділячи рівність $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} + z_{4}^{2} = m^{2} m_{2} p$ на $m^{2}$ одержуємо, що $t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + t_{3}^{2} + t_{4}^{2} = m_{2} p$ і $m_{2} p$ є рівним сумі чотирьох квадратів, що суперечить мінімальності $m .$

Див. також

Джерела

Теорема Лагранжа про чотири квадрати

Доведення

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук