Теорема Крамера — Вольда

Теоре́ма Кра́мера — Во́льда — твердження в статистиці, теорії ймовірностей та теорії міри, що дозволяє звести окремі властивості багатовимірних ймовірнісних розподілів до одновимірних. Названа на честь шведського математика Шаблон:Нп і норвезького статистика Германа Вольда.

Твердження теореми

Нехай

${\bar{X}}_n=(X_{n1},\dots ,X_{nk})$

і

$\bar{X}=(X_1,\dots ,X_k)$ — випадкові вектори розмірності  k. Тоді $X_n{\to }^{𝒟}X$ (збіжність за розподілом) якщо і тільки якщо:

$\sum _{i=1}^k{t}_i{X}_{ni}{\to }^{𝒟}\sum _{i=1}^k{t}_i{X}_i.$

для кожного $(t_1,\dots ,t_k)\in {ℝ}^k$, тобто довільна фіксована лінійна комбінація ${\bar{X}}_n$ збігається за розподілом до відповідної лінійної комбінації елементів вектора $\bar{X}$.

Зокрема $X\stackrel{𝒟}{=}Y$ (тобто випадкові вектори розмірності k мають однаковий розподіл) тоді і тільки тоді коли $\sum _{i=1}^k{t}_i{X}_i\stackrel{𝒟}{=}\sum _{i=1}^k{t}_i{Y}_i,\mathrm{\forall }(t_1,\dots ,t_k)\in {ℝ}^k.$

Доведення

Теорема Крамера—Вольда легко одержується з властивостей характеристичної функції, що у багатовимірному випадку визначається формулою:

${\phi }_X(t)=\mathrm{E}[\exp (i{t}^{T}X)].$

Згідно з властивостями характеристичних функцій $X_n{\to }^{𝒟}X⟺{\phi }_{X_n}(\cdot )\to {\phi }_X(\cdot ),$ де збіжність функцій є поточковою. Але ${\phi }_X(st)={\phi }_{t^{\text{'}}X}(s)$ і тому:

$\begin{array}{cc}{X}_n{\to }^{𝒟}X& ⟺{\phi }_{X_n}(st)\to {\phi }_X(st),\mathrm{\forall }s\in ℝ,\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^k⟺\\ & ⟺{\phi }_{t^{\text{'}}{X}_n}(t)\to {\phi }_{t^{\text{'}}X}(st),\mathrm{\forall }s\in ℝ,\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^k⟺\\ & ⟺\sum _{i=1}^k{t}_i{X}_{ni}{\to }^{𝒟}\sum _{i=1}^k{t}_i{X}_i\mathrm{\forall }t\in {ℝ}^k.\end{array}$

Джерела

• Martin Bilodeau, David Brenner (1999), Theory of Multivariate Statistics, Springer, ISBN 0387987398
• Durrett, R. Probability. Theory and examples. (2010)

Посилання

• Project Euclid: «When is a probability measure determined by infinitely many projections?»