Теорема Коші — Ковалевської

Шаблон:Short description Теорема Коші — Ковалевської — теорема про існування та єдиність локального розв'язку задачі Коші для диференціального рівняння в частинних похідних. Частковий випадок був доведений Огюстеном Коші в 1842 році, сама теорема була повністю доведена Софією Ковалевською в 1875 році.

Формулювання

Нехай початкові умови

$\frac{{\partial }^{s}u}{\partial t^s}{\mid }_{t=t^0}={\varphi }^s(x_1,\dots ,x_n)$, $s=1,\dots ,k-1$, де $t^0$ - фіксоване значення змінної $t$, ${\varphi }^s$ - задані функції змінних $x_1,\dots ,x_n$,

задачі Коші для диференціального рівняння

$\frac{{\partial }^{k}u}{\partial t^k}=F(x_1,\dots ,x_n,u,\dots ,\frac{{\partial }^{{\alpha }_0}}{\partial t^{{\alpha }_0}}\left(\frac{{\partial }^{{\alpha }_1+\dots +{\alpha }_n}u}{\partial x_1\dots \partial x_n}\right),\dots )$, де $t,x_1,\dots ,x_n$ - незалежні змінні, ${\alpha }_0\le k-1$ і ${\alpha }_1+\dots +{\alpha }_n\le k$,

є аналітичними функціями незалежних змінних в околі точки $(x_1^0,\dots ,x_n^0)$. Тоді, якщо права частина даного рівняння є аналітичною функцією всіх своїх аргументів в околі точки їх числових значень, що відповідають точці $P(t^0,x_1^0,\dots ,x_n^0)$ в силу початкових умов, то в околі цієї точки існує аналітичний розв’язок задачі Коші, і цей розв’язок буде єдиним в класі аналітичних функцій.

Тут під аргументами розуміються не тільки незалежні змінні, а й значення невідомих функцій і їх похідних, що стоять у правій частині, обчислені через початкові умови.

Узагальнення

У 1983 році японський математик Шаблон:Не перекладено узагальнив теорему Коші — Ковалевської для систем лінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних з аналітичними коефіцієнтами. Доведена їм теорема отримала назву Коші — Ковалевської — Касівари. Ця теорема передбачає когомологічне формулювання у термінах D-модулів.

Джерела

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation Том VII, с. 17–58.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation