Теорема Гаусса

Шаблон:Електродинаміка Теорема Гаусса — один з основних законів електродинаміки, що входить у систему рівнянь Максвелла.

У Міжнародній системі величин (ISQ) теорема Гаусса має вигляд:

$\underset{S}{\int }𝐃\cdot 𝐝𝐒=Q$,

де D — вектор електричної індукції, $Q$ — сумарний електричний заряд в об'ємі, оточеному поверхнею S:

$Q=\underset{V}{\int }\rho dV,$

де $\rho$ — густина заряду.

У гауссовій системі СГСГ теорема Гаусса формулюється

$\underset{S}{\int }𝐄\cdot d𝐒=4\pi Q$,

де $𝐄$ — напруженість електричного поля.

Теорема Гаусса і закон Кулона

Теорему Гаусса отримав у 1835 році Карл Фрідріх Гаусс, який виходив із закону Кулона. У сучасній електродинаміці зазвичай застосовують протилежний підхід — за основу приймаються рівняння Максвела, одним із яких є теорема Гаусса, а закон Кулона виводиться як наслідок.

Експериментальна перевірка справедливості закону Кулона з високою точністю набагато складніша від експериментальної перевірки теореми Гаусса.

Виведення закону Кулона

Щоб отримати закон Кулона з теореми Гаусса, розглядають точковий електричний заряд $q$ у вакуумі. На поверхні сфери радіусом $r$, у центрі якої розташований заряд, електричне поле повинно мати однакове значення, виходячи із міркувань симетрії. У вакуумі вектор електричної індукції $𝐃$ дорівнює напруженості електричного поля $𝐄$ (система СГС). Тому, застосовуючи теорему Гаусса:

$E4\pi r^2=4\pi q$.

Звідси основне твердження закону Кулона:

$E=\frac{q}{r^2}$

У системі ISQ $𝐃={\epsilon }_0𝐄$, де ${\epsilon }_0$ — електрична стала. Теорема Гаусса записується:

${\epsilon }_{0}E4\pi r^2=q$.

Звідси:

$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}$.

Теорема Гаусса в диференціальній формі

Теорему Гаусса можна записати у вигляді диференціального рівняння в часткових похідних, враховуючи формулу Остроградського — Гаусса (система СГС):

$\underset{S}{\int }𝐄\cdot 𝐝𝐒=\underset{V}{\int }\text{div}𝐄dV=4\pi \underset{V}{\int }\rho dV$.

Оскільки це співвідношення справедливе для будь-якого об'єму, рівними повинні бути й підінтегральні вирази:

$\text{div}𝐄=4\pi \rho$.

У системі ISQ цей вираз має вигляд:

$\text{div}𝐃=\rho$

Теорема Гаусса для полів у середовищі

Теорема Гаусса, як одне з основних рівнянь електродинаміки, загалом справедлива і для середовища, у своїй основній формі. Наприклад, використовуючи систему СГС:

$\underset{S}{\int }𝐄\cdot 𝐝𝐒=4\pi \underset{V}{\int }\rho dV$,

якщо під Q розуміти всі заряди, враховуючи мікроскопічні. Однак, присутність зовнішнього заряду призводить до перерозподілу мікроскопічних зарядів у речовині. Тому, якщо внести зовнішній заряд q в діелектрик, то деякі із мікроскопічних зарядів, змістившись, покинуть той об'єм, по якому проводиться інтегрування, інші — увійдуть у цей об'єм зовні — речовина поляризується.

Для врахування цих ефектів в електродинаміці суцільних середовищ усі заряди розділяються на вільні та зв'язані. Вільними вважаються ті заряди, які можна привнести зовні, заряджаючи тіла, зв'язаними — електричні заряди електронів та ядер речовини, які в зовнішніх полях зміщуються, одні відносно інших, створюючи поляризацію:

$\rho ={\rho }_b+{\rho }_f$,

де ${\rho }_b$ — густина зв'язаних зарядів, ${\rho }_f$ — густина вільних зарядів. Густина зв'язаних зарядів пов'язана з поляризацією: ${\rho }_b=-\text{div}𝐏$.

Тоді теорема Гаусса записується у вигляді

$\underset{S}{\int }(𝐄+4\pi 𝐏)\cdot 𝐝𝐒=4\pi \underset{V}{\int }{\rho }_{f}dV$.

Вводячи вектор електричної індукції

$𝐃=𝐄+4\pi 𝐏$,

отримуємо теорему Гаусса для діелектричних середовищ:

$\underset{S}{\int }𝐃\cdot 𝐝𝐒=4\pi \underset{V}{\int }{\rho }_{f}dV$,

або в диференціальній формі

$\text{div}𝐃=4\pi {\rho }_f$.

Магнітне поле

Магнітні заряди (монополі) поки що експериментально не спостерігалися, тому магнітний потік через замкнену поверхню завжди дорівнює нулю:

$\underset{S}{\int }𝐁\cdot 𝐝𝐒=0.$

Див. також

• Теорема Остроградського — Гаусса

Джерела

• Шаблон:Cite book