Теорема Вітні про вкладення

Шаблон:Помилки Теорема Вітни про вкладення — затвердження дифференціальної топології, згідно якому довільно гладке $m$-вимірне багатообразність з лічильною базою допускає гладке вкладення в $m$-вимірний євклідів простір. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Наведений результат є оптимальним, коли $m$ — ступінь двійки: тоді $m$-вимірний проєктивний простір неможливо вкласти в $(2m-1)$-вимірний евклідів простір.

Схема доказу

Випадки $m=1$ і $m=2$ встановлюються напряму. Для доказу випадку $m⩾3$, використовується факт, що гладке відображення загального положення $f:M\to {ℝ}^{2m}$ є імерсією з кінцевою кількістю точок трансверсального самоперетину.

Позбутися від цих точок самоперетину можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні. Він складається з наступного. Візьмемо точки $p,q\in {ℝ}^{2m}$самоперетин відображення $f$ маючи різні знаки. Візьмемо крапки $x_p,y_p,x_q,y_q\in M$, для яких $f(x_p)=f(y_p)=p$ і $f(x_q)=f(y_q)=q$. З'єднаємо $x_p$ та $x_q$ гладкою кривою $x\subset M$. З'єднаємо $y_p$ і $y_q$ гладкою кривою $y\subset M$. Тоді $f(x\cup y)$ є замкнута крива в ${ℝ}^{2m}$. Далі побудуємо відображення $h:D^2\to {ℝ}^{2m}$ з границею $h(\partial D^2)=f(x\cup y)$. Загалом, $h$ є вкладенням та $h(D^2)\cap f(M)=h(\partial D^2)$ (якраз тут використовується те, що $m⩾3$). Тоді можна ізотопувати $f$ у маленькій околиці диска $h(D^2)$ ак, щоб ця пара точок самоперетину зникла. В останнє твердження легко повірити, представивши картинку для $m=1$ (В якій властивості диска виявилися виконані випадково, а не за загальним положенням).

Наведемо малюнок іншого способу позбавитися точок самоперетину відображення загального положення $f:M\to {ℝ}^{2m}$. Він ґрунтується на важливій ідеї поглинання. (Іноді це застосування цієї іншої ідеї помилково називають трюком Вітні.) Візьмемо точку $p\in {ℝ}^{2m}$самоперетину відображення $f$. Візьмемо крапки $x,y\in M$, для яких $f(x)=f(y)=p$. З'єднаємо $x$ і $y$ гладкою кривою $l\subset M$. Тоді $f(l)$ є замкнута крива в ${ℝ}^{2m}$. Далі побудуємо відображення $h:D^2\to {ℝ}^{2m}$ з кордоном $h(\partial D^2)=f(l)$. Загалом, $h$ є вкладенням та $h(D^2)\cap f(M)=h(\partial D^2)$ (якраз тут використовується те, що m⩾3). Тепер можна ізотопувати $f$ у маленькій околиці диска $h(D^2)$ так, щоб ця точка самоперетину зникла.

Варіації та Узагальнення

Нехай $M$ є гладке m-вимірне різноманіття, де $m>1$:

• Якщо m не є ступенем двійки, тоді існує вкладення $M$ в ${ℝ}^{2m-1}$.
• $M$ може бути занурене в ${ℝ}^{2m-1}$.
  • Більше того $M$ може бути занурене в ${ℝ}^{2m-a}$, де $a$ є число одиниць у двійковому представлені числа $m$.
    • Останній результат є оптимальним: для будь-якого $m$ можна побудувати m-вимірне різноманіття (наприклад добуток речових проективних просторів), яке неможливо занурити в ${ℝ}^{2m-a-1}$.
• Теорема Мостоу — Паласа дає еквіваріантний варіант теореми Вітні про вкладення.

Література

• В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, 22.1
• Шаблон:Citation
• класифікація вкладень (англ.)