Теорема Аміцура — Левицького

Теорема Аміцура — Левицького — твердження про рівність нулю стандартного многочлена степеня $2n$ від довільних матриць порядку $n$. Прямий наслідок цього результату — матриці порядку $n$ утворюють кільце з поліноміальними залежностями з мінімальним ступенем тотожності, що дорівнює $2n$.

Теорема вперше доведена ізраїльськими математиками Шімшоном Аміцуром і Яковом Левицьким у 1950 році.

Згодом було дано кілька принципово інших доведень. Бертран Костант у 1958 році вивів теорему Аміцура — Левицького з теореми Кошуля — Самельсона про примітивні когомології алгебр Лі. Річард Сван у 1963 році дав просте доведення на основі теорії графів.

Юрій Размислов у 1974 році побудував доведення, що спирається на теорему Гамільтона — Келі. Шмуель Россет у 1976 році подав коротке доведення, що використовує зовнішню алгебру векторного простору розмірності.

Означення та формулювання

Шаблон:Якір Стандартним многочленом степеня $n$ називається многочлен:

$S_n(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{\sigma }\in S_n(-1{)}^{\sigma }{x}_{\sigma 1}\cdots x_{\sigma n}\}$,

де сума береться за всіма $n!$ елементами симетричної групи $S_n$. Тут $(-1{)}^{\sigma }$ позначає знак перестановки $\sigma$ і елементи $x_1,\dots ,x_n$ не комутують між собою.

Теорема Аміцура — Левицького стверджує, що для довільних матриць $A_1,\dots ,A_{2n}$ порядку $n$ з елементами із деякого комутативного кільця R, стандартний многочлен від цих матриць є рівним нулю:

$S_{2n}(A_1,\dots ,A_{2n})=0$.

Доведення

Тут подано доведення Размислова на основі такого твердження із лінійної алгебри:

Лема

Нехай C — комутативна $\mathbb{Q}$-алгебра з одиницею і $A\in M_n(C)$— матриця для якої $\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}{A}^2=...=\mathrm{tr}{A}^n=0.$ Тоді також $A^n=0.$

Доведення леми

Згідно теореми Гамільтона — Келі матриця A є коренем свого характеристичного многочлена: $A^n+{\alpha }_{n-1}{A}^{n-1}+\dots +{\alpha }_{1}A+{\alpha }_0=0.$

Але на основі тотожностей Ньютона, характеристичний многочлен можна записати $p_A(\lambda )=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{q}_{n-i}(\mathrm{tr}A,\mathrm{tr}{A}^2\dots ,\mathrm{tr}{A}^{n-i}){\lambda }^i,$ де всі многочлени $q_{n-i}$ мають раціональні коефіцієнти і нульові вільні члени окрім $q_0=1.$ З рівності нулю слідів степенів матриці отримуємо, що і ${\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_{n-1}=0,$ а тому $A^n=0.$

Доведення теореми

Якщо всі елементи деякого кільця R задовольнять рівності $S_n(x_1,\dots ,x_n)=0,$ то для довільного комутативного кільця A також елементи тензорного добутку $R{\otimes }_{\mathbb{Z}}A$ задовольняють цій же рівності. Справді, оскільки $S_n(x_1,\dots ,x_n)$ є полілінійним (тобто $S_n(x_1,\dots ,x_i+y_i,\dots ,x_n)=S_n(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)+S_n(x_1,\dots ,y_i,\dots ,x_n)$ для всіх змінних) достатньо довести, що вказана рівність виконується при підстановці $x_i=r_i\otimes a_i\in R{\otimes }_{\mathbb{Z}}A.$ Дійсно,

$\begin{array}{cc}{S}_n(r_1\otimes a_1,\dots ,r_n\otimes a_n)& =\sum _{\sigma \in S_n}(-1{)}^{\sigma }{r}_{{\sigma }_1}\otimes a_{{\sigma }_1}\cdots r_{{\sigma }_n}\otimes a_{{\sigma }_n}=\sum _{\sigma \in S_n}(-1{)}^{\sigma }(r_{{\sigma }_1}\cdots r_{{\sigma }_n})\otimes (a_{{\sigma }_1}\cdots a_{{\sigma }_n})=\\ & =\sum _{\sigma \in S_n}(-1{)}^{\sigma }(r_{{\sigma }_1}\cdots r_{{\sigma }_n})\otimes (a_1\cdots a_n)=S_n(r_1,\dots ,r_n)\otimes (a_1{a}_2\cdots a_n)=0.\end{array}$.

Оскільки $M_n(C)=M_n(\mathbb{Z}){\otimes }_{\mathbb{Z}}C$ і $M_n(\mathbb{Z})\subset M_n(\mathbb{Q}),$ то з попереднього випливає, що твердження достатньо довести для матриць із $M_n(\mathbb{Q})$.

Розглянемо тепер зовнішню алгебру $\mathrm{\Lambda }(V)$ над векторним простором над $\mathbb{Q}$ розмірності 2n із базисом $e_1,e_2,...,e_{2n}.$ Підалгебра ${\mathrm{\Lambda }}_e(V)$ цієї алгебри елементами якої є елементи парних компонент у градації $\mathrm{\Lambda }(V)$ є комутативною.

Нехай $A_1,...,A_{2n}$ — довільні елементи з $M_n(\mathbb{Q})$ і позначимо $B=A_1\otimes e_1+...+A_{2n}\otimes e_{2n}\in M_n(\mathrm{\Lambda }(V))=M_n(\mathbb{Q})\otimes \mathbb{Q}\mathrm{\Lambda }(V).$

Тоді $B_{2n}=S_{2n}(A_1,...,A_{2n})\otimes (e1\wedge e_2\wedge ...\wedge e_{2n})$ і $B^2=D=\sum [A_i,A_j]\otimes e_i\wedge e_j\in M_n({\mathrm{\Lambda }}_e(V)).$

Також можна записати

$D^i=B^{2i}=\sum S_{2i}(A_{j_1},...,A_{j_{2k}})\otimes e_{j_1}\wedge ...\wedge e_{j_{2k}}\in M_n({\mathrm{\Lambda }}_e(V)),i⩽n.$

Для стандартних многочленів виконуються рівності

$\begin{array}{cc}{S}_{2i}(x_1,...,x_{2i})& =x_1{S}_{2i-1}(x_2,...,x_{2i})-x_2{S}_{2i-1}(x_1,x_3,...,x_{2i})+...-x_{2i}{S}_{2i-1}(x_1,...,x_{2i-1})=\\ & =-S_{2i-1}(x_2,...,x_{2i})x_1+S_{2i-1}(x_1,x_3,...,x_{2i})x_2+...+S_{2i-1}(x_1,...,x_{2i-1})x_{2i}.\end{array}$

Звідси можна записати:

$S_{2i}(x_1,...,x_{2i})=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{2i}[x_k,S_{2i-1}(x_1,...,\widehat{x_k},...,x_{2i})].$

Отож кожен доданок у виразі для матриць $D^i$ можна записати як комутатор двох матриць. З огляду на те, що слід комутатора двох матриць дорівнює нулю, то сліди всіх цих доданків, а тому і сліди всіх матриць $D^i,1⩽i⩽n$ є рівними нулю. Згідно леми тоді також $D^n=B^{2n}=0$ і звідси $S_{2n}(A_1,A_2,...,A_{2n})=0.$

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation