Теорема Александера про передбази

Теоремою Александера про передбази у топології називається твердження яке характеризує властивість компактності за допомогою передбази топології.

Твердження

Нехай Шаблон:Mvar є топологічним простором із передбазою Шаблон:Mvar. Якщо кожне покриття простору Шаблон:Mvar елементами із Шаблон:Mvar має скінченне підпокриття, тоді простір є компактним.

Доведення

Припустимо, що простір Шаблон:Mvar не є компактним але кожне покриття елементами із Шаблон:Mvar має скінченне підпокриття. Позначимо $ℱ$ — сім'ю всіх відкритих покриттів простору Шаблон:Mvar, що не мають скінченних підпокриттів. За припущенням $ℱ\ne \mathrm{\varnothing }.$

На $ℱ$ можна ввести відношення часткового порядку: для $C_1,C_2\in ℱ$ відношенення $C_1<C_2$ виконується якщо $C_1\subset C_2.$ Для кожної лінійно впорядкованої підмножими $\{C_i{\}}_{i\in I}$ елементів із $ℱ$ існує верхня межа $\tilde{C}=\bigcup _{i\in I}{C}_i$ (очевидно $\tilde{C}$ є покриттям Шаблон:Mvar). Тому, згідно леми Цорна, можна знайти відкрите покриття Шаблон:Mvar, що є максимальним елементом $ℱ.$ Тобто, якщо Шаблон:Mvar є відкритою підмножиною Шаблон:Mvar, яка не належить Шаблон:Mvar, тоді Шаблон:Math} має скінченне підпокриття, для якого Шаблон:Mvar є одним із елементів.

Шаблон:Math не є покриттям простору Шаблон:Mvar. Якби це було не так то це би було покриття елементами Шаблон:Mvar і згідно припущення із Шаблон:Math можна було б виділити скінченне підпокриття яке також було б скінченним підпокриттям із Шаблон:Math. Це суперечить означенню Шаблон:Mvar.

Отже існує елемент Шаблон:Mvar із Шаблон:Mvar, що не належить жодній із множин із Шаблон:Math. Оскільки Шаблон:Mvar є покриттям Шаблон:Mvar то Шаблон:Math для деякої відкритої множини Шаблон:Math. Оскільки Шаблон:Mvar є передбазою, то для деяких множин Шаблон:Math, згідно означення: Шаблон:Math.

Оскільки Шаблон:Mvar не належить жодній із множин із Шаблон:Math, то також Шаблон:Math для кожного Шаблон:Mvar. (Якщо Шаблон:Math для деякого i, тоді також Шаблон:Math і тому Шаблон:Math). Із максимальності покриття Шаблон:Mvar, для кожного Шаблон:Mvar існує скінченна підмножина Шаблон:Math покриття Шаблон:Mvar для якої Шаблон:Math є скінченним покриттям простору Шаблон:Mvar. Позначимо Шаблон:Mvar об'єднання скінченних множин Шаблон:Math для всіх Шаблон:Mvar із 1 до n. Тоді для кожного Шаблон:Mvar скінченне покриття Шаблон:Math простору Шаблон:Mvar можна замінити на більше скінченне покриття Шаблон:Math. Для кожного Шаблон:Mvar скінченна множина Шаблон:Math є покриттям простору Шаблон:Mvar, тому також Шаблон:Math є покриттям Шаблон:Mvar. Але, як було вказано вище, Шаблон:Math де Шаблон:Math. Тому Шаблон:Math є скінченним покриттям Шаблон:Mvar елементами якого є множини із Шаблон:Mvar. Тобто для Шаблон:Mvar існує скінченне підпокриття, що суперечить вибору Шаблон:Mvar. Тобто для Шаблон:Mvar не існує покриттів відкритими множинами для яких не існує скінченних підпокриттів. Тобто Шаблон:Mvar є компактним простором.

Див. також

• Компактний простір
• Передбаза топології

Посилання

• Alexander's Subbasis Theorem на сайті Mathonline

Література

• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en