Тензорний аналіз

Шаблон:Числення Тензорний аналіз — узагальнення векторного аналізу, розділ тензорного числення, що вивчає диференційні оператори, котрі діють на алгебрі тензорних полів $D(M)$, що диференціюється $M$. Розглядаються також оператори, що діють на загальніші, ніж тензорні поля, геометричні об'єкти: тензорна густина, диференціальні форми зі значеннями у векторному розшаруванні і т.д.

Найбільший інтерес представляють оператори, дія яких не виводить за межі алгебри $D(M)$.

1) Коваріантна похідна уздовж векторного поля $X$ — лінійне відображення ${\mathrm{\nabla }}_X$ простору векторних полів $D^1(M)$ від $M$, залежне від векторного поля $X$ і яке задовольняє умовам:

де $X$, $Y$, $Z\in D^{\prime }(M)$, $f$, $g$ — гладкі функції на $M$. Зв'язність $\mathrm{\Gamma }$ і паралельне перенесення, що визначаються цим оператором, дозволяють розповсюдити дію коваріантної похідної до лінійного відображення алгебри $D(M)$ в себе; при цьому відображення $\mathrm{\nabla }X$ є диференціюванням, зберігає тип тензорного поля і перестановочне зі згорткою.

В локальних координатах $u^1,u^2\dots ,u^n$ коваріантна похідна тензора з компонентами $T(T_{j_1\dots j_m}^{i_1\dots i_l})$ щодо вектора $X={\xi }^i\frac{\partial }{\partial u^i}$ визначається так:

${\mathrm{\Gamma }}_{ks}^i$ — об'єкт зв'язності $\mathrm{\Gamma }$.

2) Похідна Лі уздовж векторного поля $X$ — відображення $L_X$ простору $D^{\prime }(M)$, що визначене формулою $L_X:Y\to [X,Y]$, де $[X,Y]$ — комутатор векторних полів $X$ $Y$. Цей оператор також однозначно продовжується до диференціювання $D(M)$, зберігає тип тензорів і переставляється зі згорткою. В локальних координатах Лі похідна тензора $T(T_{j_1\dots j_m}^{i_1\dots i_l})$ виражається так:

3) Зовнішній диференціал (зовнішня похідна) — лінійний оператор $d$, що зіставляє зовнішній диференційній формі (кососиметричному коваріантному тензору) степеня $p$ форму такого ж вигляду і степеня $p+1$, котра задовольняє умовам:

де $\wedge$ — символ зовнішнього добутку $r$ — ступінь ${\omega }_1$. В локальних координатах зовнішня похідна тензора $\omega ⟨{\omega }_{i_1\dots i_p}⟩$ виражається так:

Оператор $d$ — узагальнення оператора $\mathrm{rot}$.

4) Тензор кривизни симетричного невиродженого двічі коваріантного тензора $g_{if}$ є дією деякого нелінійного оператора $R$:

де

Література

• Акивис М.А. Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. — Москва: Наука, 1969 — С. 352.
• Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. — Москва: Высшая школа, 1966 — С. 254.
• Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. — Москва: ФМЛ, 1978 — С. 297.
• Автор Книжка. — Видавництво. — С. 123.
• Кочин Р.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — Москва: Наука, 1965 — С. 427.
• Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ. — Москва: ФМЛ, 1963 — С. 411.
• Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — Москва: Изд. МГУ, 1986 — С. 264.
• Bishop, Richard L.; Samuel I. Goldberg (1980) [1968]. Tensor Analysis on Manifolds. Dover. ISBN 978-0-486-64039-6.
• Lebedev, Leonid P.; Michael J. Cloud (2003). Tensor Analysis. World Scientific. ISBN 978-981-238-360-0.
• Kay, David C (1988-04-01). Schaum's Outline of Tensor Calculus. McGraw-Hill. ISBN 978-0070334847.
• Synge JL, Schild A (1978-07-01). Tensor Calculus. Dover Publications. ISBN 978-0486636122.