Тензор інерції

Тензор інерції — в механіці абсолютно твердого тіла — тензорна величина, що зв'язує момент імпульсу тіла і кінетичну енергію його обертання з кутовою швидкістю:

$\overrightarrow{L}=J\overrightarrow{\omega }$

де $J$ — тензор інерції, $\overrightarrow{\omega }$ — кутова швидкість, $\overrightarrow{L}$ — момент імпульсу

$E_{kinrot}=\frac{1}{2}{\overrightarrow{\omega }}^T\cdot J\cdot \overrightarrow{\omega }$

$E_{kin}=E_{kinrot}+\frac{p^2}{2m}$,

в компонентах це виглядає так:

$L_i=\sum _j{J}_{ij}{\omega }_j$

$E_{kinrot}=\frac{1}{2}\sum _{ij}{\omega }_i{J}_{ij}{\omega }_j$

Використовуючи визначення моменту імпульсу системи N матеріальних точок (перенумерованих в формулах нижче індексом k):

$\overrightarrow{L}=\sum _{k=1}^N[{\overrightarrow{r}}_k\times (m_k{\overrightarrow{v}}_k)]$

і кінематичний вираз для швидкості через кутову швидкість:

$\overrightarrow{v}=[\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}]$

і порівнюючи з формулою, що виражає момент імпульсу через тензор інерції і кутову швидкість (перша формула в цій статті), неважко отримати явний вираз для тензора інерції:

$J_{ij}=\sum _k(m_k({\delta }_{ij}{r}_k^2-r_{i_k}{r}_{j_k})))$

або:

$J_{ij}=\int ({\delta }_{ij}{r}^2-r_i{r}_j)dm=\int ({\delta }_{ij}{r}^2-r_i{r}_j)\rho dV$,

де r — відстані від точок до центру, навколо якого обчислюється система частинок.

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга