Тензор Річчі

Тензор Річчі, названий на честь Грегоріо Річчі-Курбастро, задає один із способів вимірювання кривини многовиду, тобто ступеня відмінності геометрії многовиду від геометрії плоского евклідового простору. Тензор Річчі, точно так само як метричний тензор, є симетрична білінійна форма на дотичному просторі ріманового многовиду. Грубо кажучи, тензор Річчі вимірює деформацію об'єму, тобто ступінь відмінності n-вимірних областей n-вимірного многовиду від аналогічних областей евклідового простору.

Зазвичай позначається $\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}$ або $\mathrm{R}\mathrm{c}$.

Означення

Нехай $(M,g)$ — n-вимірний ріманів многовид, а $T_{p}M$ — дотичний простір до M в точці p. Для будь-якої пари $\xi ,\eta \in T_{p}M$ дотичних векторів в точці p, тензор Річчі $\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}(\xi ,\eta )$, за означенням, відображає $(\xi ,\eta )$ в слід лінійного автоморфізма $T_{p}M\to T_{p}M$, що заданий тензором кривини Рімана R:

$\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi$

Якщо на многовиді задані локальні координати, то тензор Річчі можна розкласти за компонентами:

$\mathrm{Ric}=R_{ij}d{x}^i\otimes d{x}^j$

де $R_{ij}={R^k}_{ikj}.$ — слід тензора Рімана в координатному представлені.