Схрещений модуль

У математиці, особливо у Шаблон:Нп, схрещений модуль складається з груп $G$ та $H$, де $G$ діє на $H$ за допомогою автоморфізмів (дію будемо записувати зліва, $(g,h)\mapsto g\cdot h$), і гомоморфізму цих груп

$d:H⟶G,$

який є Шаблон:Нп відносно дії Шаблон:Нп групи $G$ на себе:

$d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1},$

а також задовольняє рівності Пайффера

$d(h_1)\cdot h_2=h_1{h}_2{h}_1^{-1}.$

Історія

Схоже, що перша згадка рівності Пайффера для схрещеного модуля була в статті 1941 року Д.Г.К. Уайтхеда 'On adding relations to homotopy groups'. Означення схрещеного модуля було введено в його статті 1946 року. Ці ідеї були добре пророблені в його роботі 'Combinatorial homotopy II' 1949 року, в якій також було введено важливе поняття вільного схрещеного модуля. Ідеї Уайтхеда про схрещені модулі та їх застосування розроблені та пояснені в книзі Брауна, Хіггінса, Сівери 'Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids'. Деякі узагальнені ідеї схрещених модулів розглянуті в статті Джанелідзе.

Приклади

Нехай $N$ — нормальна підгрупа групи $G$. Тоді вкладення

$d:N⟶G$

є схрещеним моделем з дією групи $G$ на $N$ спряженнями.

Для довільної групи $G$, модулі над груповим кільцем є схрещеними $G$-модулями з $d=0$.

Для довільної групи $H$, гомоморфізм з $H$ до $\mathrm{Aut}(H)$, який відправляє кожний елемент з $H$ у відповідний внутрішній автоморфізм є схрещеним модулем.

Якщо задане центральне розширення груп

$1\to A\to H\to G\to 1,$

то гомоморфізм: $d:H\to G$ разом з дією $G$ на $H$ визначає схрещений модуль. Тому центральні розширення можна розглядати як спеціальні схрещені модулі. Навпаки, схрещений модуль з сюр'єктивним гомоморфізмом визначає центральне розширення.

Нехай $(X,A,x)$ є відміченою парою топологічних просторів (тобто $A$ є підпростором $X$, і $x$ є точкою в $A$), тоді граничний гомоморфізм

$d:{\pi }_2(X,A,x)\to {\pi }_1(A,x)$

з другої відносної гомотопічної групи до фундаментальної групи можна наділити структурою схрещеного модуля. Функтор

$\mathrm{\Pi }:(\text{пари відмічених просторів})\to (\text{схрещені модулі})$

задовольняє узагальненій теоремі ван Кампена, тобто зберігає певні кодобутки.

Результат на схрещеному модулі пари може бути інтерпретований наступним чином: якщо

$F\to E\to B$

є відміченим розшаруванням просторів, то індукованому відображенню фундаментальних груп

$d:{\pi }_1(F)\to {\pi }_1(E)$

можна надати структуру схрещеного модуля. Цей приклад є корисним в алгебраїчній К-теорії. Існують версії цього факту у вищих розмірностях, які використовують поняття $n$-кубів просторів.

Ці приклади наводять на думку, що схрещені модулі можна мислити як 2-вимірні групи. Ця ідея може бути формалізована в термінах теорії категорій. Можна показати, що схрещений модуль це те саме що категоріальна група або 2-група, тобто груповий об'єкт в категорії категорій, що еквівалетно категорному об'єкту в категорії груп. Це означає, що концепт схрещеного модуля є результатом поєднання ідей групи та категорії. Це еквівалентність є важливою для версій вищих розмірностей для груп.

Класифікувальний простір

Кожний схрещений модуль

$M=(d:H⟶G)$

має класифікувальний простір $BM$ з властивістю, що його гомотопічні групи це $\mathrm{Coker}d$ у розмірності $1$, $\mathrm{Ker}d$ у розмірності $2$, і тривіальні групи в розмірностях вище 2. Можливо описати гомотопічні класи відображень з $CW$-комплексу в $BM$. Це дозволяє довести, що (відмічені, слабкі) гомотопічні 2-типи повністю описуються схрещеними модулями.

Зовнішні лінки

• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Cite journal

Література

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal