Схема Бернуллі

Проводяться $n$ дослідів, у кожному з яких може відбутися певна подія («успіх») з імовірністю $p$ (або не відбутися — «невдача» — з імовірністю $q=1-p$). Завдання — знайти ймовірність отримання рівно $m$ успіхів у цих $n$ дослідах.

Розв'язок:

$P_n(m)=C_n^m{p}^m(1-p{)}^{n-m}$ (формула Бернуллі).

Кількість успіхів — випадкова величина, яка має біноміальний розподіл.

Визначення

Для застосування схеми Бернуллі мають виконуватись такі умови:

• Кожне випробування має рівно два результати, умовно звані успіхом і невдачею.
• Незалежність випробувань: результат чергового експерименту не повинен залежати від результатів попередніх експериментів.
• Ймовірність успіху повинна бути сталою (фіксованою) для всіх випробувань.

Розглянемо стохастичний експеримент з двоелементним простором елементарних подій. Одну назвемо «успіхом», позначимо «1», іншу — «невдачею», позначимо «0». Нехай імовірність успіху $0<p<1$, тоді ймовірність невдачі $1-p=q$.

Розглянемо новий стохастичний експеримент, який полягає в $n$-разовому повторенні цього найпростішого стохастичного експерименту.

Зрозуміло, що простір елементарних подій $\mathrm{\Omega }$, який відповідає цьому новому стохастичному експерименту буде $\{\mathrm{\Omega }=(a_1,...,a_n)|a_i=\overline{0,1},i=\overline{1,n}\}$ (1), $N(\mathrm{\Omega })=2^n$. За $\sigma$-алгебру подій $𝒜$ візьмемо булеан простору елементарних подій $P(\mathrm{\Omega })$ (2). Кожній елементарній події $\omega \in \mathrm{\Omega }$ поставимо у відповідність число $p(\omega )=p^{\sum _{i=1}^n{a}_i}{q}^{n-\sum _{i=1}^n{a}_i}$. Якщо в елементарній події $\omega$ успіх спостерігається $k$ разів, а невдача — $(n-k)$ разів, то $p(\omega )=p^k{q}^{n-k}$. Нехай $A_k=\{\omega \in \mathrm{\Omega }|\sum _{i=1}^n{a}_i=k\},k=\overline{0,n}$, тоді $P(A_k)=\sum _{\omega \in A_k}P(\omega )=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$. Також є очевидною нормованість імовірності: $\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}P(\omega )=\sum _{k=0}^n\sum _{\omega \in A_k}P(\omega )=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{p}^k{q}^{n-k}=(p+q{)}^n=1^n=1$.

Поставивши у відповідність кожній події $A\in 𝒜$ числове значення $P(A)=\sum _{\omega \in A}P(\omega )$ (3), ми знайдемо ймовірність $P:𝒜\to ℝ$. Побудований простір $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$, де $\mathrm{\Omega }$ — простір елементарних подій, визначений рівністю (1), $𝒜$ — $\sigma$-алгебра, визначена рівністю (2), P — імовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для $n$ випробувань.

Набір чисел $P_n(k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k},k=\overline{0,n},n\in \mathbb{N}$ називається біноміальним розподілом.

Узагальнення (поліноміальна схема)

Звичайна формула Бернуллі застосовна на випадок, коли за кожного випробування можлива одна з двох подій. Формулу Бернуллі можна узагальнити на випадок, коли за кожного випробування відбувається одна і тільки одна з $k>2$ подій з імовірністю $p_i(i=1,2,...,k)$, де $p_1+...+p_k=1$. Ймовірність появи $m_1$ разів першої події, $m_2$ — другої і $m_k$ раз k-ї знайдемо за формулою:

$P_n(m_1,m_2,...,m_k)=\frac{n!}{m_1!m_2!...m_k!}{p_1}^{m_1}{p_2}^{m_2}...{p_k}^{m_k}$,

де $n=m_1+m_2+...+m_k.$

Теореми

В особливих умовах (за досить великих чи досить малих параметрів) для схеми Бернуллі використовують наближені формули з граничних теорем: теорема Пуассона, локальна теорема Муавра — Лапласа, інтегральна теорема Муавра — Лапласа.

Джерела

• Шаблон:Гнєденко.Курс теорії ймовірностей
• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Послідовність випробувань (схема Бернуллі) Шаблон:Webarchive