Сферичні гармоніки

Шаблон:UniboxСфери́чні гармо́ніки — набір ортонормованих функцій двох кутових змінних $\theta$ і $\phi$, які складають повний базис функцій сферичного кута.

Візуальне зображення перших декількох сферичних гармонік. Червоний колір вказує на додатність функції, зелений на від'ємність.

Сферичні гармоніки позначаються $Y_{l,m}(\theta ,\phi )$, де l = 0,1,2…, а m пробігає значення від -l до l.

$Y_{l,m}(\theta ,\phi )=(-1{)}^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}{P}_l^{|m|}(\cos \theta )e^{im\phi }$,

де $P_l^{|m|}(x)$ - приєднані поліноми Лежандра.

Сферичні гармоніки є власними функціями оператора кутового моменту.

Множник в означенні сферичних гармонік вибирається з умови нормування

$\int Y_{l^{\prime },m^{\prime }}^{*}(\theta ,\phi )Y_{l,m}(\theta ,\phi )d\mathrm{\Omega }={\delta }_{l,l^{\prime }}{\delta }_{m,m^{\prime }}$,

де інтегрування проводиться по повному сферичному куту, а ${\delta }_{l,l^{\prime }}$ - символ Кронекера.

Деякі сферичні гармоніки з малими l

$Y_0^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi }}$

$Y_1^{-1}(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\sin \theta e^{-i\phi }$

$Y_1^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\cos \theta$

$Y_1^1(\theta ,\phi )=\frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\sin \theta e^{i\phi }$

$Y_2^{-2}(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}{\sin }^2\theta e^{-2i\phi }$

$Y_2^{-1}(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\sin \theta \cos \theta e^{-i\phi }$

$Y_2^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi }}(3{\cos }^2\theta -1)$

$Y_2^1(\theta ,\phi )=\frac{-1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\sin \theta \cos \theta e^{i\phi }$

$Y_2^2(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}{\sin }^2\theta e^{2i\phi }$

Посилання

• Розрахунок коефіцієнтів сферичної гармоніки з кубічної текстури — Переглянуто: 15 жовтня 2014
• Розрахунок освітлення з допомогою сферичних гармонік в OpenGL — Переглянуто: 15 жовтня 2014