Сума кубів двох виразів

Наочне доведення формул суми і різниці кубів двох виразів

Сума кубів двох виразів — у математиці це число, зведене в куб, додане до іншого числа, зведеного в куб.

Факторизація

Відповідно до тотожності елементарної алгебри кожну суму кубів можна розкласти на множникиШаблон:R:$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Шаблон:Не перекладено узагальнюють цю Шаблон:Не перекладено до вищих непарних ступенів.

Мнемонічний метод

Для запам'ятовування правильного розташування символів додавання та віднімання під час розкладання кубів іноді використовується мнемонічний метод «однаковий, протилежний, завжди позитивний»Шаблон:R. При застосуванні цього методу до розкладання на множники «однаковий» представляє перший член із тим самим знаком, що й вихідний вираз, «протилежний» представляє другий член із знаком, протилежним вихідному виразу, а «завжди позитивний» представляє третій член виразу, який є завжди позитивним.

	Вихідний знак		Однаковий		Протилежний		Завжди позитивний
$a^3$	$+$	$b^3=(a$	$+$	$b)(a^2$	$-$	$ab$	$+$	$b^2)$
$a^3$	$-$	$b^3=(a$	$-$	$b)(a^2$	$+$	$ab$	$+$	$b^2)$

Доказ

Починаючи з виразу $a^2-ab+b^2$ і помножуючи його на a + b, отримуємоШаблон:R $$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2).$$ Розподіляючи a і b на вираз $a^2-ab+b^2$Шаблон:R,$$a^3-a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b-a{b}^2+b^3$$ та скасовуючи протилежні доданки, отримуємо Шаблон:R $$a^3+b^3.$$

Аналогічно для різниці кубів, $$\begin{array}{cc}(a-b)(a^2+ab+b^2)& =a(a^2+ab+b^2)-b(a^2+ab+b^2)\\ & =a^3+a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b-a{b}^2-b^3\\ & =a^3-b^3.\end{array}$$

Велика теорема Ферма

Велика теорема Ферма у випадку третього ступеня, стверджує, що сума двох ненульових цілих кубів не дорівнює ненульовому цілому кубу. Перший відомий доказ для третього ступеня був наданий ЕйлеромШаблон:R.

Число таксі і число кеб-таксі

Число таксі — це найменше додатне число, яке можна виразити як суму двох цілих додатних кубів n різними способами. Найменше число таксі після Ta(1) = 1 дорівнює Ta(2) = 1729, і виражається як

$1^3+12^3$ або $9^3+10^3$.

Ta(3), найменше число таксі, виражене трьома різними способами, дорівнює 87 539 319, може бути записане як

$436^3+167^3$, $423^3+228^3$ або $414^3+255^3$.

Шаблон:Не перекладено — це найменше додатне число, яке можна виразити як суму двох цілих кубів n способами, де куби можуть бути від'ємними, дорівнювати нулю або бути додатними. Найменше число кеб-таксі після Cabtaxi(1) = 0 є Cabtaxi(2) = 91Шаблон:R, і виражається як:

$3^3+4^3$ або $6^3-5^3$.

Cabtaxi(3), найменше число кеб-таксі, виражене трьома різними способами, дорівнює 4104Шаблон:R, може бути виражене як

$16^3+2^3$, $15^3+9^3$ або $-12^3+18^3$.

Див. також

• Різниця квадратів двох виразів
• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено
• Шаблон:Не перекладено
• Велика теорема Ферма

Подальше читання

• Шаблон:Cite journal