Стодвадцятикомірник

Стодвадцятикомірник
Діаграма Шлегеля: проєкція (перспектива) стодвадцятикомірника в тривимірний простір
Тип	Правильний чотиривимірний політоп
Символ Шлефлі	{5,3,3}
Комірок	120
Граней	720
Ребер	1200
Вершин	600
Вершинна фігура	Правильний тетраедр
Двоїстий політоп	Шестисоткомірник

Пра́вильний стодвадцятикомі́рник, або просто стодвадцятикомі́рник^[1] — один із шести правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі. Відомий також під іншими назвами: гекатонікосахор (від Шаблон:Lang-grc — «сто», Шаблон:Lang-grc2 — «двадцять» і Шаблон:Lang-grc2 — «місце, простір»), гіпердодекае́др (оскільки є чотиривимірним аналогом додекаедра), додекаплекс (тобто «комплекс додекаедрів»), полідодека́едр. Двоїстий шестисоткомірнику.

Відкрив Людвіг Шлефлі в середині 1850-х років^[2]. Символ Шлефлі стодвадцятикомірника — {5,3,3}.

Усі 9 його зірчастих форм — правильні зірчасті багатокомірники. З 10 правильних зірчастих багатокомірників лише один не є зірчастою формою стодвадцятикомірника.

Опис

Обмежений 120 тривимірними комірками — однаковими додекаедрами. Кут між двома суміжними комірками дорівнює рівно $14 4^{\circ}$ .

Його 720 двовимірних граней — однакові правильні п'ятикутники. Кожна грань відокремлює 2 комірки, що прилягають до неї.

Має 1200 ребер однакової довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 грані та по 3 комірки.

Має 600 вершин. У кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней та по 4 комірки.

В координатах

Стодвадцятикомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб:

координати 24 його вершин були різноманітними перестановками чисел $(0; 0; \pm 2; \pm 2);$

координати 64 вершин — різноманітними перестановками $(\pm 1; \pm 1; \pm 1; \pm \sqrt{5});$

координати 64 вершин — різноманітними перестановками $(\pm Φ^{- 2}; \pm Φ; \pm Φ; \pm Φ),$ де $Φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ — відношення золотого перетину;

координати 64 вершин — різноманітними перестановками $(\pm Φ^{- 1}; \pm Φ^{- 1}; \pm Φ^{- 1}; \pm Φ^{2});$

координати 96 вершин — різноманітними парними перестановками $(0; \pm Φ^{- 2}; \pm 1; \pm Φ^{2});$

координати 96 вершин — різноманітними парними перестановками $(0; \pm Φ^{- 1}; \pm Φ; \pm \sqrt{5});$

координати решти 192 вершин — різноманітними парними перестановками $(\pm Φ^{- 1}; \pm 1; \pm Φ; \pm 2) .$

Початок координат $(0; 0; 0; 0)$ буде при цьому центром симетрії багатокомірника, а також центром його вписаної, описаної та напівуписаних тривимірних гіперсфер.