Стандартне відображення

Стандартне відображення (Шаблон:Lang-en), відоме також як стандартне відображення Чирікова (Шаблон:Lang-en) та відображення Чирікова — Тейлора (Шаблон:Lang-en) — нелінійне відображення (що зберігає об'єм) для двох канонічних змінних, $(p,x)$ (імпульсу та координати). Відображення відоме своїми хаотичними властивостями, які вперше були досліджені Борисом Чиріковим в 1969 році.

Відображення задається такими ітераційними рівняннями:

$\begin{array}{c}{p}_{n+1}=p_n+K\sin x_n\\ x_{n+1}=x_n+p_{n+1}\end{array}$

де параметр K контролює хаотичність системи.

Модель ротатора

Стандартне відображення описує рух класичного ротатора — фіксованого стрижня, на який не діє сила тяжіння і який обертається без тертя в площині навколо осі, що проходить через один з його кінців. Ротатор також зазнає спричинених зовнішньою силою періодичних в часі (з періодом одиниця) ударів нескінченно короткої тривалості. Змінні $x_n$ та $p_n$ відповідають куту повороту ротатора та його кутовому моменту після n-ого удару. Стала K описує силу удару. Функція Гамільтона ротатора може бути записана так:

$H=\frac{p^2}{2}+K\cos x{\delta }_{Per}(t),$

де функція ${\delta }_{Per}(t)$ періодична з періодом 1 функція, що на одному періоді збігається з $\delta$-функцією Дірака. З вищенаведеної функції Гамільтона елементарно одержується стандартне відображення.

Властивості

Файл:Chirikov map 0.5dp.gif

Рис.1. K=0.5

Файл:Chirikov map 0.971635dp.gif

Рис.2. K=0.971635

Файл:Chirikov map 1.5dp.gif

Рис. 3. K=1.5

Для випадку K=0 відображення є лінійним, тому існують лише періодичні та квазіперіодичні тректорії. При $K\ne 0$ відображення стає нелінійним, згідно з теоремою КАМ, відбувається руйнування інваріантних торів та утворення стохастичних шарів, в яких динаміка є хаотичною. Зростання K призводить до збільшення областей хаосу на фазовій площині $(x,p)$. Завдяки періодичності функції $sin(x)$, динаміку системи можна розглядати на циліндрі [взявши $xmod(2\pi )$] або на торі [взявши $(x,p)mod(2\pi )$].

Стаціонарні точки відображення визначаються з умови
$(x_n,p_n)=(x_{n+1},p_{n+1})$. На інтервалі $x\in [0,2\pi [$, $p\in [0,2\pi [$ такими точками є $(0,0)$ та $(\pi ,0)$ (внаслідок симетрчності фазової площини системи $(x_n,p_n)$ при інверсії стосовно точки $(\pi ,\pi )$ стаціонарні точки $(0,\pi )$ та $(\pi ,\pi )$ можна не розглядати). Аналіз лінійної стійкості відображення зводиться до аналізу системи рівнянь

$\left[\begin{array}{c}\delta x_{n+1}\\ \delta p_{n+1}\end{array}\right]=\hat{M}\left[\begin{array}{c}\delta x_n\\ \delta p_n\end{array}\right],$
$\hat{M}=\left[\begin{array}{cc}1& 1+K\cos x_n\\ 1& K\cos x_n\end{array}\right].$
З умови $\det |\hat{M}-\lambda \hat{I}|=0$ можна визначити власні значення матриці $\hat{M}$ для обидвох стаціонарних точок [$(0,0)$ та $(\pi ,0)$]:
${\lambda }_{\pm }^{(0,0)}=\frac{2+K\pm \sqrt{K^2+4K}}{2},$ ${\lambda }_{\pm }^{(\pi ,0)}=\frac{2-K\pm \sqrt{K^2-4K}}{2}.$

Оскільки K>0, то звідси випливає нерівність ${\lambda }_{+}^{(0,0)}>1$. В той же час справедлива нерівність ${\lambda }_{-}^{(0,0)}<{\lambda }_{+}^{(0,0)}<1$ для довільних K>0. Таким чином стаціонарна точка $(0,0)$ є нестійкою гіперболічною точкою. Стаціонарна точка $(\pi ,0)$ є стійкою еліптичною точкою при $0\ge K<4$, оскільки тоді $\mathrm{\Re }\left|{\lambda }_{\pm }^{(\pi ,0)}\right|=1$. Для $K\ge 4$ стаціонарна точка $(\pi ,0)$ втрачає стійкість і стає гіперболічною.

Нижче критичного значення параметру, $K<K_c$ (Рис. 1) інваріантні тори ділять фазовий простір системи так, що момент імпульсу p є обмеженим — іншими словами, дифузія p в стохастичному шарі не може виходити за границі, обмежені інваріантними торами. Золотий інваріантний тор руйнується коли число обертання досягає значення $r_g=(\sqrt{5}-1)/2$, що відповідає критичному значенню параметра $K_g=0.971635...$ (фазовий простір системи для $K=0.971635$ зображено на Рис. 2). Зараз строго не доведено, що $K_c=K_g$, проте чисельні розрахунки свідчать, що це найімовірніше так. На сьогоні існує лише строге доведення того, що при $K>63/64=0.984375...$. При $K>K_c$ спостерігається режим глобального хаосу, коли стохастичне море з окремими острівцями стійкості покриває весь фазовий простір (див. рис. 3.). Інваріантних торів, що обмежують еволюцію в фазовому просторі, вже немає і можна говорити про дифузію траєкторії в хаотичному морі.

Ентропія Колмогорова-Синая стандартного відображення добре описується співвідношенням $h\approx \ln (K/2)$ для значень контрольного параметра $K>4$

Квантове стандартне відображення

Перехід до квантового стандартного відображення відбувається заміною динамічних змінних $(p,x)$ квантовомеханічними операторами $(\hat{p},\hat{x})$, що задовільняють комутаційному співвідношенню $[\hat{p},\hat{x}]=-i\hslash$, де $\hslash$ — ефективна безрозмірна стала Планка.

Основною властивістю квантового відображення у порівнянні з класичним є т. зв. явище динамічної локалізації, що полягає в придушенні хаотичної дифузії за рахунок квантових ефектів.

Застосування

Багато фізичних систем та явищ зводяться до стандартного відображення. Це, зокрема

• Динамкіка частинок в прискорювачах;
• Динаміка комети в Сонячній системі;
• Мікрохвильова іонізація рідбергівських атомів та автоіонізація молекулярних рідбергівських станів;
• Електронний магнетотранспорт в резонансному тунельному діоді;
• Конфайнмент заряджених частинок в дзеркальних магнітних пастках;
  

Модель Френкеля — Конторової

Шаблон:Докладніше Модель Френкеля — Конторової слід виділити окремо як першу модель, в якій рівняння стандартного відображення були записані аналітично. Ця модель використовується для опису динаміки дислокацій, моношарів на поверхнях кристалів, хвиль густини заряду, сухого тертя. Модель у стаціонарному випадку задає зв'язок між положеннями взаємодіючих частинок (наприклад атомів) в полі просторово-періодичного потенціалу. Функція Гамільтона одновимірного ланцюжка атомів, що взаємодіють з найближчими сусідами через параболічний потенціал взаємодії та знаходяться в полі косинусоїдального потенціалу, який описує кристалічну поверхню, має насутпний вигляд:
$H=\sum _n(\frac{P_n^2}{2}+\frac{(x_{n+1}-x_n{)}^2}{2}-K\cos x_n),P_n={\dot{x}}_n.$
Тут $x_n$ — відхилення атома від свого положення рівноваги. У стаціонарному випадку ($P_n\equiv 0$) це призводить до наступного рівняння

$x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}=K\sin x_n,$

яке заміною $p_{n+1}=x_{n+1}-x_n$ можна звести до звичайного запису стандартного відображення.

Див. також

• Відображення кола

Література

• Стандартне відображення Чирікова на www.scholarpedia.org (англійською).
• Standard map на MathWorld*(англійською).
• Шаблон:Cite book Springer link
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• B.V.Chirikov, «Time-dependent quantum systems» in «Chaos and quantum mechanics», Les Houches Lecture Series, Vol. 52, pp.443-545, Eds. M.-J.Giannoni, A.Voros, J.Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).