Стала Гельфонда–Шнайдера

Не плутати з Шаблон:Нп

Шаблон:UniboxСтала Гельфонда–Шнайдера або число Гільберта дорівнює двійці у степені квадратного кореня з двох:

$2^{\sqrt{2}}=2,6651441426902251886502972498731\dots$

Трансцендентність цього числа була доведена Шаблон:Нп у 1930 році. У 1934 році Олександр Гельфонд і Шаблон:Нп незалежно один від одного довели більш загальну Шаблон:Нп, яка вирішила частину Шаблон:Нп, описаної нижче.

Властивості

Квадратний корінь зі сталої Гельфонда–Шнайдера є трансцендентним числом:

$\sqrt{2^{\sqrt{2}}}={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=1,63252691943815284477\dots .$

Цю ж саму сталу можна використати для доведення, що ``ірраціональна степінь ірраціонального числа може бути раціональним числом, навіть без попереднього доведення трансцендентності $2^{\sqrt{2}}$. Доведення наступне: або число ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ є раціональним, що доводить теорему, або воно є ірраціональним (як виявляється), і тоді число

${\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}={\sqrt{2}}^2=2$

є ірраціональним числом в ірраціональному степені, а отже, є раціональним, що й доводить теорему. Доведення не є конструктивним, оскільки не вказує, який із двох випадків вірний, але воно набагато простіше, ніж доведення Шаблон:Нп.

Сьома проблема Гільберта

Частина сьомої з двадцяти трьох проблем Гільберта, поставлених у 1900 році, полягала в тому, щоб довести або знайти контрприклад до твердження, що вираз $a^b$ завжди є трансцендентним для алгебраїчної сталої $a\ne 0,1$ та ірраціональної алгебраїчної сталої $a^b$. У своїй промові він навів два явних приклади, один із яких — стала Гельфонда–Шнайдера $2^{\sqrt{2}}$.

У 1919 році він прочитав лекцію з теорії чисел і розповів про три припущення: гіпотезу Рімана, останню теорему Ферма та трансцендентність $2^{\sqrt{2}}$. Він зазначив аудиторії, що не сподівався, що хтось із присутніх у залі проживе достатньо довго, щоб побачити доведення цього результату. Але доказ трансцендентності цього числа був опублікований Р. Кузьміним у 1930 році, ще за життя Д. Гільберта. А саме, Р. Кузьмін довів випадок, коли показник степеня $b$ є дійсним квадратичним ірраціональним числом, який пізніше був розширений до довільного алгебраїчного ірраціонального числа $b$ Гельфондом і Шнайдером.

Див. також

• Шаблон:Нп

Додаткова література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book