Стала Гаусса

Шаблон:Confused Шаблон:More footnotes Шаблон:UniboxВ математиці стала Гаусса (позначається як $G$) визначається як обернене середнє арифметико-геометричне з 1 та квадратного кореня з 2:

$G=\frac{1}{\mathrm{agm}(1,\sqrt{2})}=0,8346268\dots .$

Стала була названа на честь Карла Фрідріха Гаусса, який у 1799 році довів, що

$G=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}},$

а отже

$G=\frac{1}{2\pi }\mathrm{B}(\frac{1}{4},\frac{1}{2}),$

де $B$ позначає бета-функцію.

Зв'язок з іншими сталими

Стала Гаусса може бути використана для обчислення гамма-функції при значенні аргументу Шаблон:Sfrac:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2G\sqrt{2{\pi }^3}}.$

Альтернативний варіант:

$G=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right){}^2}{2\sqrt{2{\pi }^3}},$

і, оскільки $\pi$ та $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)$ алгебраїчно незалежні, то стала Гаусса є трансцендентною.

Лемніскатні сталі

Стала Гаусса може бути використана для визначення лемніскатних сталих.

Гаусс та інші використовували еквівалентний запис:

$\varpi =\pi G,$

який є лемніскатною сталою.

Однак Джон Тодд використовував іншу термінологію, визначаючи дві "лемніскатні сталі" $A$ та $B$:

$\begin{array}{cc}A& =\frac{1}{2}\pi G=\frac{1}{2}\varpi =\frac{1}{4}\mathrm{B}(\frac{1}{4},\frac{1}{2}),\\ B& =\frac{1}{2G}=\frac{1}{4}\mathrm{B}(\frac{1}{2},\frac{3}{4}).\end{array}$

Вони виникають при знаходженні довжини дуги лемніскати Бернуллі. $A$ та $B$ є трансцендентними, що було доведено Шаблон:Нп відповідно у 1937 та 1941 роках.

Інші формули

Формула для $G$ у термінах тета-функцій Якобі має наступний вигляд:

$G={\vartheta }_{01}^2\left({\mathrm{e}}^{-\pi }\right),$

а також у вигляді швидкозбіжного ряду:

$G=\sqrt[4]{32}{\mathrm{e}}^{-\frac{\pi }{3}}{(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{-2n\pi (3n+1)})}^2.$

Стала також задається нескінченним добутком

$G=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{th}}^2\left(\frac{\pi m}{2}\right).$

Аналогічно за формулою Валліса:

$G=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{4n-1}{4n}\cdot \frac{4n+2}{4n+1})=(\frac{3}{4}\cdot \frac{6}{5})(\frac{7}{8}\cdot \frac{10}{9})(\frac{11}{12}\cdot \frac{14}{13})\cdots$

А також вона випливає з визначених інтегралів:

$\frac{1}{G}=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{\sin (x)}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{\cos (x)}\mathrm{d}x,$

$G=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\mathrm{ch}(\pi x)}}.$

Стала Гаусса у вигляді ланцюгового дробу має вигляд $[0,1,5,21,3,4,14,\dots ]$. (Шаблон:OEIS).

Див. також

• Лемніскатна еліптична функція

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Примітки

• Шаблон:Mathworld
• Sequences A014549 and A053002 in OEIS

Зовнішні посилання

• Шаблон:Cite web