Скінченні різниці

Шаблон:Поліпшити Скінченна різниця — математичний вираз виду f(x + b) − f(x + a), що широко використовується в числових методах в методі скінченних різниць для апроксимації значень функції та її похідних.

Права, ліва та центральна різниця

Права різниця — вираз виду:

${\mathrm{\Delta }}_h[f](x)=f(x+h)-f(x).$

Ліва різниця — вираз виду:

${\mathrm{\nabla }}_h[f](x)=f(x)-f(x-h).$

Центральна різниця — вираз виду:

${\delta }_h[f](x)=f(x+\frac{1}{2}h)-f(x-\frac{1}{2}h).$

Зв'язок з похідною

Похідна функції f в точці x визначена, як границя розділеної різниці

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{\Delta }}_h[f](x)}{h}$

Отже, права різниця поділена на h апроксимує похідну, якщо h є малим. Похибка апроксимації отримується з теореми Тейлора.

Ліва та центральна різниці теж апроксимують похідну:

$\frac{{\mathrm{\Delta }}_h[f](x)}{h}-f^{\prime }(x)=O(h)(h\to 0).$

$\frac{{\mathrm{\nabla }}_h[f](x)}{h}-f^{\prime }(x)=O(h).$

$\frac{{\delta }_h[f](x)}{h}-f^{\prime }(x)=O(h^2).$

Різниці вищих порядків

Аналогічно до похідних вищих порядків можна отримати скінченні різниці вищих порядків. Наприклад, застосувавши центральну різницю в формулах $f^{\prime }(x+h/2)$ та $f^{\prime }(x-h/2)$ для апроксимації другої похідної $f$ в точці x, отримаємо:

$f^{″}(x)\approx \frac{{\delta }_h^2[f](x)}{h^2}=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}.$

В загальному випадку, праві, ліві та центральні різниці n-того порядку виражаються формулами:

${\mathrm{\Delta }}_h^n[f](x)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f(x+(n-i)h),$

$\underset{h}{\overset{n}{\mathrm{\nabla }}}[f](x)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f(x-ih),$

${\delta }_h^n[f](x)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f(x+(\frac{n}{2}-i)h).$

Для непарних $n$, коефіцієнт перед $h$ буде не цілим. Це часом є проблемою, оскільки $h$ є інтервалом дискретизації. Для вирішення проблеми використовують середнє від ${\delta }^n[f](x-h/2)$ та ${\delta }^n[f](x+h/2)$.

Зв'язок скінченних різниць вищих порядків з похідними вищих порядків:

$\frac{d^{n}f}{d{x}^n}(x)$ $=\frac{{\mathrm{\Delta }}_h^n[f](x)}{h^n}+O(h)$ $=\frac{\underset{h}{\overset{n}{\mathrm{\nabla }}}[f](x)}{h^n}+O(h)$ $=\frac{{\delta }_h^n[f](x)}{h^n}+O(h^2).$

Скінченні різниці вищих порядків можуть використовуватись для покращення апроксимації. Наприклад:

$\frac{{\mathrm{\Delta }}_h[f](x)-\frac{1}{2}{\mathrm{\Delta }}_h^2[f](x)}{h}=-\frac{f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}$

апроксимує f'(x) з точністю до h². Доводиться записом вищенаведеного виразу через ряд Тейлора та зведенням подібних доданків.

Див. також

• Коефіцієнт скінченних різниць