Середнє за Чезаро

В математиці середні за Чезаро послідовності $\{a_n\}$ — це середні арифметичні перших $n$ членів $\{a_n\}$:

$c_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i$

Поняття назване на честь італійського математика Шаблон:Не перекладено.

Основний результат теорії чезарових середніх (див. теорема Штольца) стверджує, що якщо існує границя послідовності $a_n$, то також існує границя послідовності $c_n$, і вони рівні:

$\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=A\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=A$.

Тим самим, операція взяття чезарового середнього має властивість регулярності — зберігає властивість збіжності послідовності та її границю. В той же час, існує багато прикладів, коли вихідна послідовність не має границі, а її чезарові середні збігаються. (Наприклад, послідовність $a_n=(-1{)}^n$.) Це дозволяє використовувати чезарові середні як один з методів підсумовування розбіжних рядів.

Посилання

• Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.Шаблон:Ref-ru