Рівномірна збіжність

Рівномірна збіжність послідовності функцій — властивість послідовності $f_n:X\to Y$, де $X$ — довільна множина, $Y=(Y,d)$ — метричний простір, $n=1,2,\dots$ збігається до функції (відображення) $f:X\to Y$, що означає, що для будь-якого $\epsilon >0$ існує такий номер $N_{\epsilon }$, що для всіх номерів $n>N_{\epsilon }$ і всіх точок $x\in X$ виконується нерівність

$d(f_n(x),f(x))<\epsilon .$

Ця умова рівнозначна тому, що

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in X}{\sup }d(f_n(x),f(x))=0.$

Зазвичай позначається$f_n\rightrightarrows f$. $f$ називається рівномірною границею послідовності функцій $f_n$ на множині X.

Приклад

• Послідовність $f_n(x)=x^n$, $n=1,2,\dots$ рівномірно збігається на будь-якому відрізку $[0,a]$, $0<a<1$ і не збігається рівномірно на відрізку $[0,1]$.

Властивості

• Із рівномірної збіжності випливає поточкова збіжність на тій же множині.

• Якщо $Y$ — нормований простір і послідовності відображень $f_n:X\to Y$ і $g_n:X\to Y$, $n=1,2,\dots$ рівномірно збігаються на множині $X$, то послідовності $\{f_n+g_n\}$ також як і $\{\alpha f_n\}$ при будь-яких $\alpha \in ℝ$ також рівномірно збігаются на $X$.

• Для дійсно-значних функцій, послідовність відображень $f_n:X\to ℝ$, рівномірно збігається на множині $X$ та $g:X\to ℝ$ обмежене відображення, то послідовність $\{g{f}_n\}$ також рівномірно збігається на $X$.

• Якщо $X$ — топологічний простір, $Y$ — метричний простір та послідовність неперервних в точці $x_0\in X$ відображень $f_n:X\to Y$ рівномірно збігається на множині $X$ до відображеня $f:X\to Y$, то це відображення також неперервно в точці $x_0$.

• Якщо послідовність інтегровних за Ріманом (за Лебегом) функцій $f_n:[a,b]\to ℝ$ рівномірно збігається на відрізку $[a,b]$ до функції $f:[a,b]\to ℝ$, то ця функція також інтегровна за Ріманом (відповідно за Лебегом), і для кожного $x\in [a,b]$ має місце рівність
      $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}_n(t)dt=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$
  і збіжність послідовності функцій
      $x\mapsto \underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}_n(t)dt$
  на відрізку $[a,b]$ до функції
      $x\mapsto \underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$
  рівномірна.

• Якщо послідовність неперервно диференційовних на відрізку $[a,b]$ функцій $f_n:[a,b]\to ℝ$, збігається у деякій точці $x_0$, a послідовність їх похідних рівномірно збігається на $[a,b]$, то послідовність $\{f_n\}$ також рівномірно збігається на $[a,b]$, її границя є неперервно диференційовною функцією на цьому відрізку.

Див. також

• Квазірівномірна збіжність
• Теорема Діні
• Теорема Єгорова

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1951.