Розподіл Фішера

Шаблон:Розподіл ймовірностей Розподіл Фішера або F-розподіл у теорії імовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. F-розподіл часто зустрічається як розподіл тестової статистики коли нульова гіпотеза вірна, особливо в тесті відношення правдоподібності, найважливіший випадок аналіз дисперсії (див. F-тест).

Визначення

Нехай $Y_{1}, Y_{2}$ — дві незалежні випадкові величини, що мають розподіл хі-квадрат: $Y_{i} \sim χ^{2} (d_{i})$ , де $d_{i} \in ℕ, i = 1, 2$ . Тоді розподіл випадкової величини

F = \frac{Y_{1} / d_{1}}{Y_{2} / d_{2}}

,

називається розподілом Фішера зі ступенями свободи $d_{1}$ і $d_{2}$ . Пишуть $F \sim F (d_{1}, d_{2})$ .

Щільність випадкової величини з F-розподілом з параметрами $d_{1}, d_{2} (F (d_{1}, d_{2}))$ задається формулою:

f (x) = \frac{\sqrt{\frac{(d_{1} x)^{d_{1}} d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1} x + d_{2})^{d_{1} + d_{2}}}}}{x B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} = \frac{1}{B (\frac{d_{1}}{2}, \frac{d_{2}}{2})} {(\frac{d_{1}}{d_{2}})}^{\frac{d_{1}}{2}} x^{\frac{d_{1}}{2} - 1} {(1 + \frac{d_{1}}{d_{2}} x)}^{- \frac{d_{1} + d_{2}}{2}}

для дійсного числа $x \geq 0$ , тут d₁ та d₂ цілі додатні числа, а B — Бета-функція.

Моменти

Математичне очікування і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд:

𝕄 [F] = \frac{d_{2}}{d_{2} - 2}

, якщо

d_{2} > 2

,

D [F] = \frac{2 d_{2}^{2} (d_{1} + d_{2} - 2)}{d_{1} (d_{2} - 2)^{2} (d_{2} - 4)}

, якщо

d_{2} > 4

.

Властивості розподілу Фішера

Якщо $F \sim F (d_{1}, d_{2})$ , то

\frac{1}{F} \sim F (d_{2}, d_{1})

.

Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо $F_{d_{1}, d_{2}} \sim F (d_{1}, d_{2})$ , то

F_{d_{1}, d_{2}} \to δ (x - 1)

по розподілі при

d_{1}, d_{2} \to \infty

,

де $δ (x - 1)$ — дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи $X \equiv 1$ .

Зв'язок з іншими розподілами

Якщо $F_{d_{1}, d_{2}} \sim F (d_{1}, d_{2})$ , то випадкові величини $d_{1} F_{d_{1}, d_{2}}$ збігаються по розподілу до $χ^{2} (d_{1})$ при $d_{2} \to \infty$ .

Див. також

Розподіл хі-квадрат

Джерела

Шаблон:Reflist

Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л.М.Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0

Шаблон:Список розподілів ймовірності

Розподіл Фішера

Зміст

Визначення

Моменти

Властивості розподілу Фішера

Зв'язок з іншими розподілами

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Розподіл Фішера

Визначення

Моменти

Властивості розподілу Фішера

Зв'язок з іншими розподілами

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук