Розподіл Фреше

Шаблон:Розподіл ймовірностей Розподіл Фреше, також відомий як обернений розподіл Вейбулла , є окремим випадком узагальненого розподілу екстремального значення. Він має кумулятивну функцію розподілу

$\mathrm{Pr}(X\le x)=e^{-x^{-\alpha }}\text{ if }x>0.$

де α > 0 є параметром форми. Його можна узагальнити надаючи йому параметру розташування m (мінімум) і параметра масштабу s > 0 з кумулятивною функцією розподілу

$\mathrm{Pr}(X\le x)=e^{-{\left(\frac{x-m}{s}\right)}^{-\alpha }}\text{ if }x>m.$

Названий на честь Моріса Фреше , який написав статтю про цей розподіл у 1927 році, подальша робота була зроблена Фішером і Типпетом в 1928 і Гумбелем в 1958 році.

Характеристики

Єдиний параметр Фреше $\alpha$ має стандартизований момент

${\mu }_k=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{k}f(x)dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{-\frac{k}{\alpha }}{e}^{-t}dt,$

(з $t=x^{-\alpha }$) визначений тільки при $k<\alpha$:

${\mu }_k=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{k}{\alpha })$

де $\mathrm{\Gamma }\left(z\right)$ це Гамма-функція.

Зокрема:

• Для $\alpha >1$ математичне сподівання дорівнює $E[X]=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha })$
• Для $\alpha >2$ в дисперсія становить $\text{Var}(X)=\mathrm{\Gamma }(1-\frac{2}{\alpha })-(\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{\alpha }){)}^2.$

Квантиль $q_y$ порядку $y$ можна виразити оберненням функції розподілу,

$q_y=F^{-1}(y)={(-{\log }_{e}y)}^{-\frac{1}{\alpha }}$.

Зокрема, медіана - це:

$q_{1/2}=({\log }_{e}2{)}^{-\frac{1}{\alpha }}.$

Мода розподілу ${\left(\frac{\alpha }{\alpha +1}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}.$

Особливо для 3-параметричного розподілу Фреше, перший квартиль дорівнює $q_1=m+\frac{s}{\sqrt[\alpha ]{\log (4)}}$, а третій квартиль $q_3=m+\frac{s}{\sqrt[\alpha ]{\log (\frac{4}{3})}}.$

Також квантили для середнього та режиму:

$F(mean)=\exp (-{\mathrm{\Gamma }}^{-\alpha }(1-\frac{1}{\alpha }))$

$F(mode)=\exp (-\frac{\alpha +1}{\alpha }).$

Застосування

Моделювання кумулятивною функцією розподілу Фреше екстремальних одно-денних дощів

• В гідрології, розподіл Фреше застосовується для моделювання екстремальних явищ, таких як річна максимальна одноденна кількість опадів і річкового стоку. Блакитний малюнок, зроблений на ПЗ CumFreq ілюструє моделювання розподілом Фреше річного денного максимуму опадів в Омані, на малюнку також показано 90% довірчий інтервал побудований на основі біноміального розподілу. Кумулятивні частоти спостережень кількости опадів представлені ґрафіком позицій в рамках сукупного частотного аналізу.

Однак, здебільшого в гідрології підгонку розподілу здійснюють через узагальнений розподіл екстремальних значень, що дозволяє уникнути припущення про відсутність нижньої межі розподілу (як того вимагає розподіл Фреше). Шаблон:Fact

• Один тест для оцінки асимптотичної залежности чи незалежности багатовимірного розподілу полягає у перетворенні даних в стандартні відособлення Фреше за допомогою перетворення $Z_i=-1/\log F_i(X_i)$ а потім відображення з картезіанських до псевдо-полярних координат $(R,W)=(Z_1+Z_2,Z_1/(Z_1+Z_2))$. Значення $R\gg 1$ відповідають граничним даним, для яких принаймні один компонент екстремальний, тоді як $W$ близькі до 1 або 0 означає, що тільки один компонент екстремальний.

Пов'язані розподіли

• Якщо $X\sim U(0,1)$ (Рівномірний розподіл (безперервне)) тоді $m+s(-\log (X){)}^{-1/\alpha }\sim \text{Frechet}(\alpha ,s,m)$
• Якщо $X\sim \text{Frechet}(\alpha ,s,m)$ тоді $kX+b\sim \text{Frechet}(\alpha ,ks,km+b)$
• Якщо $X_i\sim \text{Frechet}(\alpha ,s,m)$ і $Y=\max \{X_1,\dots ,X_n\}$ тоді $Y\sim \text{Frechet}(\alpha ,n^{\frac{1}{\alpha }}s,m)$
• Функція розподілу розподілу Фреше є розв'язком рівняння максимального постулату стабільности
• Якщо $X\sim \text{Frechet}(\alpha ,s,m=0)$ тоді обернена випадкова величина має розподіл Вейбулла: $X^{-1}\sim \text{Weibull}(k=\alpha ,\lambda =s^{-1})$

Властивості

• Розподіл Фреше є максимальним стабільним розподілом
• Фреше розподілена випадкова величина зі знаком мінус є мінімальним стабільним розподілом

Див. також

• Type-2 Gumbel distribution
• Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
• CumFreq (application software for probability distributions including Fréchet)

Публікації

• Fréchet, M., (1927). "Sur la loi de probabilité de l'écart maximum." Ann. Soc. Polon. Math. 6, 93.
• Fisher, R.A., Tippett, L.H.C., (1928). "Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample." Proc. Cambridge Philosophical Society 24:180–190.
• Gumbel, E.J. (1958). "Statistics of Extremes." Columbia University Press, New York.
• Kotz, S.; Nadarajah, S. (2000) Extreme value distributions: theory and applications, World Scientific. Шаблон:ISBN

Ланки

• An application of a new extreme value distribution to air pollution dataШаблон:Недоступне посилання Шаблон:Ref-en
• Wave Analysis for Fatigue and Oceanography Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en