Розподіл Коші

Крива Лоренца — функція однієї змінної $x$ з двома параметрами $x_0$ і $\gamma$

$f(x)=\frac{1}{\pi }\frac{\gamma }{(x-x_0{)}^2+{\gamma }^2}$.

Графіки функції при різних значеннях параметрів показано на рисунку праворуч. Оскільки крива зустрічається в багатьох галузях науки вона має багато різних назв: лоренціан, функція Лоренца, розподіл Коші, розподіл Коші-Лоренца, розподіл Брейта-Вігнера.

Використовується для опису форми лінії в спектроскопії, часто зустрічається в фізиці, зокрема у квантовій механіці.

Властивості

• Функція має максимум при $x=x_0$. При $\gamma \to 0$ висота цього максимуму зростає до нескінченності, а ширина зменшується до нуля. Тому криву Лоренца часто використовують як наближення до дельта-функції.

$\underset{\gamma \to 0}{\lim }f(x)=\delta (x-x_0)$.

• Розподіл Коші є безмежно подільним.
• Розподіл Коші є стійким.

Інтеграли

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\pi }\frac{\gamma dx}{(x-x_0{)}^2+{\gamma }^2}=1$

Див. також

• Розподіл Лоренца

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко