Розв'язки Йоста

Розв'язки Йоста — розв'язки одновимірного рівняння Шредінгера з потенціалом, що спадає до нуля на нескінченності, у випадку неперервного спектру енергій. Часто використовується в задачах на розсіяння, а також в теорії солітонів (метод оберненої задачі).

Математичне означення

В одновимірному випадку гамільтоніан має вигляд (при приведенні до безрозмірних змінних):

$H=-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}+u(x),x\in ℝ,$

де потенціал $u(x)$ — локально інтегровна функція, визначена на множині дійсних чисел.

В випадку неперервного спектру маємо:

$-\psi (x{)}^{″}+u(x)\psi (x)=k^2\psi (x),$

де $k^2=\lambda$ — власні значення гамільтоніана (енергія), $\psi (x)$ — власні функції (хвильова функція).

Якщо на потенціал накладені такі умови:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x||u(x)|\mathrm{d}x<\mathrm{\infty },$ — $u(x)$ спадає на нескінченності швидше ніж $x^{-2}$;

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|u(x)|\mathrm{d}x<\mathrm{\infty },$ — $u(x)$ не має сингулярностей сильніше $x^{-1}$;

тоді для дійсних значень $k$ введемо розв'язки $f_{\pm }(x,k)$ які задовольняють граничній умові:

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{\pm }(x,k)\cdot e^{\mp ikx}=1,$

дані розв'язки названі розв'язками Йоста на честь швейцарського фізика Реса Йоста який перший запропонував їх.

Функції тільки від $k$, тобто визначені в конкретній точці простору (часто в нулі чи на нескінченності), називають функціями Йоста, хоча багато авторів вживають обидва вирази на позначення $f_{\pm }(x,k)$.

Для всіх $k$ (комплексних), з накладеною умовою $\mathrm{I}mk\ge 0$, і для $u(x)$, який задовольняє умови накладені вище, існують розв'язки (і вони єдині) рівняння Шредінгера які задовольняють такі інтегральні рівняння:Шаблон:-1

$f_{+}(x,k)=e^{ikx}+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin k(\xi -x)}{k}u(\xi )f_{+}(\xi ,k)\mathrm{d}\xi ,$

$f_{-}(x,k)=e^{-ikx}-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin k(\xi -x)}{k}u(\xi )f_{-}(\xi ,k)\mathrm{d}\xi ,$

причому дані розв'язки неперервні по $k$ при $\mathrm{I}mk\ge 0$ і аналітичні при $\mathrm{I}mk>0$.

Рівняння для розв'язків Йоста можна отримати безпосередньо з граничних умов і рівняння Шредінгера за допомогою функції Гріна в вигляді:Шаблон:-1

$G(x,\xi ,k)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin k(\xi -x)}{k},& \xi <x\\ 0,& \xi >x\end{array}.$

Використання

Багато інших задач приводиться до одновимірного рівняння Шредінгера. Зокрема задача розсіяння на центральному потенціалі в трьохвимірному просторі зводиться до такого рівняння для радіальної функції в S-станіШаблон:-1:

$-\frac{d^2}{d{r}^2}\psi (r)+u(r)\psi (r)=k^2\psi (r),$.

В такому випадку умови на потенціал відмінні від наведених вище і мають вигляд:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r|u(r)|\mathrm{d}r<\mathrm{\infty },$ — $u(r)$ при $r=0$ не має сингулярності сильніше $x^{-2}$;

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^2|u(r)|\mathrm{d}r<\mathrm{\infty },$ — $u(r)$ спадає на нескінченності швидше ніж $x^{-3}$;

Розв'язок Йоста задовольняє рівняння: : $\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(r,k)\cdot e^{ikr}=1,$ при цьому:

$f(x,k)=e^{-ikr}+\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin k(r^{\prime }-r)}{k}u(r^{\prime })f(r^{\prime },k)\mathrm{d}{r}^{\prime }.$.

Функція $f(x,-k)$ теж є розв'язком рівняння, і цей розв'язок є лінійно незалежним від $f(x,k)$.

Функція Йоста визначена як $f(k)=f(0,k)$, грає важливу роль в теорії розсіяння, зокрема через неї виражається матриця розсіяння $S(k)$:

$S(k)=\frac{f(k)}{f(-k)}$.

Джерела

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга
3. Шаблон:Книга