Підкільце

Підкільце кільця $K$ — це пара $(R,i)$, де $R$ — кільце, а $i:R\hookrightarrow K$ — мономорфізм (вкладення) кілець.

Таке визначення узгоджується із загальними поняттями:

• підструктури в універсальній алгебрі та
• підоб'єкта в теорії категорій.

У класичному визначенні підкільце кільця $(K,+,*)$ розглядається як підмножина $R\subset K$, замкнута відносно операцій $+$ і $*$ з основного кільця. Це визначення рівносильне наведеному вище, проте в сучасному визначенні підкреслюється внутрішня структура підкілець і зв'язок між різними кільцями. Воно також легко узагальнюється на випадок довільних математичних об'єктів (алгебричних, геометричних тощо). Різниця між визначеннями аналогічна різниці між теоретико-множинним і теоретико-категорійним поглядом на математику.

Зокрема, різні визначення кільця дають два основні змістовні поняття підкільця. У категорії (всіх) кілець $ℛing$ підкільце, як у класичному визначенні, можна розглядати як довільну підмножину кільця, замкнуту за додаванням і множенням. Цікавіша ситуація в категорії кілець з одиницею $ℛin{g}_1$: морфізми (гомоморфізми) $f:R\to K$ в цій категорії мають відображати одиницю кільця $R$ в одиницю кільця $K$ (аналогічно гомоморфізму напівгруп з одиницею), тому підкільце $R$ кільця $K$ також має містити одиницю: $1_K\in R$ .

Категорія $ℛing$ влаштована значно краще, ніж $ℛin{g}_1$. Наприклад, ядро будь-якого гомоморфізму також є об'єктом цієї категорії. Тому, кажучи про підкільця, зазвичай мають на увазі підкільце в $ℛing$, якщо не зазначено інше.

Приклади

1. Будь-який ідеал (лівий, правий, двосторонній) замкнутий відносно додавання і множення, тому є підкільцем у $ℛing$.
2. У $ℛin{g}_1$ ідеал є підкільцем тільки тоді, коли містить $1$, тому він має збігатися з усім кільцем. Тому в $ℛin{g}_1$ власні ідеали не є підкільцями.
3. У $ℛing$ підкільцями в $\mathbb{Z}$ є всі головні ідеали $(n)=n\mathbb{Z}$. У $ℛin{g}_1$$\mathbb{Z}$ не має власних підкілець.
4. Кільце цілих чисел $\mathbb{Z}$ є підкільцем поля дійсних чисел $ℝ$ і підкільцем кільця многочленів $\mathbb{Z}[X]$.

Див. також

• Підгрупа
• Підалгебра

Література

• Шаблон:Ref-uk Шаблон:Книга
• Шаблон:Вінберг.Курс алгебри
• Шаблон:Атья.Макдональд.Введение в коммутативную алгебру