Проєкція вектора

Шаблон:Вичитати Вектор проєкції вектора a на ненульовий вектор b (також відомий як компонента вектора) є ортогональною проєкцією на пряму лінію, паралельну b. Вектор, паралельний b, визначається як

${𝐚}_1=a_1\widehat{𝐛}$,

де $a_1$ є скаляром (називається скалярною проєкцією a на b) та b̂ одиничний вектор у напрямку b.

У свою чергу, скалярна проєкція визначається як

$a_1=|𝐚|\cos \theta =𝐚\cdot \widehat{𝐛}=𝐚\cdot \frac{𝐛}{|𝐛|}$,

де оператор · позначає скалярний добуток, |а| — це довжина, і $\theta$ представляє кут між а і b. Скалярний проєкція дорівнює довжині проєкції вектора, зі знаком мінус, якщо напрямок проєкції протилежно напрямку b.

Вектор проєкція а на b іноді позначається a_∥b.

Вектор проєкції

Вектор проєкції а на b є вектором, величина якого скалярна проєкція на b і кут, проти b 0 або 180 градусів.

А саме, визначається як: ${𝐚}_1=a_1\widehat{𝐛}=(|𝐚|\cos \theta )\widehat{𝐛}$, де a₁ є відповідна скалярна проєкція, як визначено вище, і b одиничний вектор з тим же напрямком, що і b:

$\widehat{𝐛}=\frac{𝐛}{|𝐛|}$

.

Проєкцією вектора a на інший вектор b є вектор, що обчислюється за формулою

${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{𝐁}(𝐀)=\frac{𝐀\cdot 𝐁}{|𝐁{|}^2}𝐁.$

Визначення в термінах а та b

Коли θ невідомо, косинус θ може бути обчисленим в термінах а та b

$\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐚||𝐛|}=\cos \theta$

Скалярна проєкція

До вищезазначеної властивості скалярного добутку, визначенням скалярної проєкції стає

$a_1=|𝐚|\cos \theta =|𝐚|\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐚||𝐛|}=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐛|}$

Вектор проєкції

Аналогічним чином, визначення вектора проєкції а на b стає

${𝐚}_1=a_1\widehat{𝐛}=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐛|}\frac{𝐛}{|𝐛|},$

що еквівалентно

${𝐚}_1=(𝐚\cdot \widehat{𝐛})\widehat{𝐛},$ або

${𝐚}_1=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐛{|}^2}𝐛=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{𝐛\cdot 𝐛}𝐛.$

Остання формула є більш ефективною для обчислювання, ніж перша. В кожній з формул потрібно обчислювати скалярний добуток і множити скаляр на вектор, але в першій формулі потрібно додатково обчислювати квадратний корінь та ділити вектор на число., в той час коли в останній потрібно лише розділити скаляр на скаляр.

Відкидання вектора

За визначенням,

${𝐚}_2=𝐚-{𝐚}_1.$

Отже,

${𝐚}_2=𝐚-\frac{𝐚\cdot 𝐛}{𝐛\cdot 𝐛}𝐛.$

Властивості

Скалярна проєкція

Скалярний проєкція a на b є скаляр, який має від'ємний знак, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів. Вона збігається з довжиною | C | вектора проєкції, якщо кут менше 90 °. Більш точно:

• a₁ = |a₁|, якщо 0 ≤ θ ≤ 90 градусів,
• a₁ = −|a₁|, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів.

Векторна проєкція

Вектор проєкція а на b вектор a₁, який є або нульовим або паралельним b. Більш точно:

• a₁ = 0, якщо θ = 90°,
• a₁ та b мають однаковий напрямок, якщо 0 ≤ θ < 90 градусів,
• a₁ and b мають однаковий напрямок, якщо 90 < θ ≤ 180 градусів.

Матриця проєкції

Ортогональна проєкція може бути представлена матрицею проєкції. Для проєктування вектора на одиничний вектор Шаблон:Math, потрібно домножити на проєкцію матриці: $$P_{𝐚}=𝐚{𝐚}^{\mathsf{\text{T}}}=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_x^2& a_x{a}_y& a_x{a}_z\\ a_x{a}_y& a_y^2& a_y{a}_z\\ a_x{a}_z& a_y{a}_z& a_z^2\end{array}\right]$$

Використання

Проєкція вектора є важливою операцією в процесі Грама — Шмідта ортогоналізації базису векторного простору. Також використовується в теоремі про розділову гіперплощину.

Узагальнення

Оскільки поняття довжини вектора і кута між векторами може бути узагальненим на будь-якому n-мірному простору, це вірно і для поняття ортогональної проєкції вектора, проєкції вектора на інший, а також відхилення одного вектора від іншого. У деяких випадках, скалярний добуток збігається з добутком точки. Всякий раз, коли вони не збігаються, то скалярний добуток використовується замість скалярного добутку в формальному визначенні проєкції та відхиленні.

Для отримання тривимірного внутрішнього простору, поняття проєкції вектора на інший і відхилення вектора від іншого може бути узагальнено на поняття проєкції вектора на площину, і відхилення вектора від площини.

Проєкція вектора на площині є її ортогональною проєкцією на цю площину. Відхилення вектора від площини є її ортогональною проєкцією на прямій лінії, ортогональної до цієї площини. Обидва вектора, по-перше, паралельно площині, по-друге ортогонально. Для даного вектора і площини, сума проєкції і відхилення дорівнює вихідному вектору.

Так само для  внутрішніх  просторів у більш ніж трьох вимірах, поняття  проєкції на вектор  та відхилення від вектора можна узагальнити на поняття проєкції на гіперплощину, і відхилення від гіперплощини.

Див. також

• Скалярний добуток
• Скалярна проєкція

Джерела

• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Скалярний добуток і проєкція вектора із прикладами