Простий множник

Це зображення демонструє знаходження простих множників числа 864. Скорочений спосіб написання — 2 ⁵ × 3 ³

У теорії чисел, прості множники (прості дільники) додатного цілого числа — це прості числа, які ділять це число без остачі (без залишку). Виділити прості множники додатного цілого числа означає перелічити ці прості множники разом з їх кратностями. Процес визначення простих множників називається факторизацією цілого числа. Основна теорема арифметики стверджує, що будь-яке натуральне число можна подати у вигляді єдиного (з точністю до порядку слідування) добутку простих множників.

Щоб скоротити вираз, прості множники часто подаються у вигляді степенів простих чисел (кратності). Наприклад,

$360=2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5=2^3\times 3^2\times 5$

в якому множники 2, 3 і 5 мають кратності 3, 2 і 1, відповідно.

Для простого множника р числа n кратність числа p — це найбільший з показників степеня а, для яких $p^a$ ділить n без остачі.

Для додатного цілого числа n, кількість простих множників n і сума простих множників n (без урахування кратності) — це приклади арифметичних функцій від n (адитивних арифметичних функцій).

Повний квадрат

Квадрат числа має властивість, що всі його прості множники мають парні кратності. Наприклад, число 144 (квадрат 12) має прості множники

$144=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3=2^4\times 3^2.$

У більш зрозумілій формі:

$144=2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3=(2\times 2\times 3)\times (2\times 2\times 3)=(2\times 2\times 3{)}^2=(12{)}^2.$

Оскільки кожен простий множник присутній тут парне число разів, вихідне число можна подати у вигляді квадрата деякого числа. Таким же чином, куб числа — це число, у якого кратності простих множників діляться на три, і так далі.

Взаємно прості числа

Додатні цілі числа, що не мають спільних простих множників, називаються взаємно простими. Два цілих числа a і b можна назвати взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник НСД $(a,b)=1$. Якщо для двох цілих чисел невідомі їх прості множники, то для визначення того, чи є вони взаємно простими, використовується алгоритм Евкліда; алгоритм виконується за поліноміальний час за кількістю цифр.

Ціле число 1 є взаємно простим для будь-якого додатного цілого числа, включно з самим собою. Іншими словами, число 1 не має простих множників, воно — порожній добуток. Це означає, що НСД $(1,b)=1$ для будь-якого $b\le 1$.

Криптографічні застосування

Визначення простих множників числа — це приклад задачі, яка часто використовується для забезпечення криптографічного захисту в системах шифрування. Передбачається, що ця задача вимагає супер-поліноміального часу за кількістю цифр. Це означає, що відносно легко сконструювати задачу, вирішення якої зайняло б більше часу, ніж відомий вік Всесвіту за поточного розвитку комп'ютерів і за допомогою сучасних алгоритмів.

Шаблон:Якір Функції Омега

Функція Шаблон:Math (омега) являє собою число різних простих множників n, у той час як функція Шаблон:Math (велика Омега) являє собою число простих множників Шаблон:Math перелічене з урахуванням кратності. Якщо

$n=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{p}_i^{{\alpha }_i},$

тоді

$\mathrm{\Omega }(n)=\sum _{i=1}^{\omega (n)}{\alpha }_i.$

Наприклад, Шаблон:Math Так що Шаблон:Math і Шаблон:Math

• Шаблон:Math для Шаблон:Math = 1, 2, 3, … відповідно 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, … — Шаблон:OEIS .
• Шаблон:Math для Шаблон:Math = 1, 2, 3, … відповідно 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, … — Шаблон:OEIS.

Див. також

• Складене число
• Факторизація цілих чисел — алгоритмічна проблема знаходження простих множників заданого числа
• Подільність
• Таблиця простих множників
• Решето Ератосфена
• Шаблон:Нп
• Криптографічна стійкість