Просте число Волстенголма

У теорії чисел простим числом Волстенголма називають будь-яке просте число, що задовольняє посиленому порівнянню з теореми Волстенголма. При цьому початковому порівнянню з теореми Волстенголма задовольняють усі прості числа, крім 2 та 3. Прості числа Волстенголма названо на честь математика Шаблон:Не перекладено, який першим довів теорему в XIX столітті.

Інтерес до цих чисел виник через їхній зв'язок із великою теоремою Ферма.

Відомо лише два простих числа Волстенголма — 16843 і 2124679 (Шаблон:OEIS). Інших простих чисел Волстенголма, менших від 10⁹, немає .

Визначення

Шаблон:Нерозв'язано Просте число Волстенголма можна визначити кількома еквівалентними способами.

Через біноміальні коефіцієнти

Просте число Волстенголма — це просте число, що задовольняє порівняння

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})\equiv 2(\mathrm{mod}{p}^4),$

де вираз у лівій частині означає біноміальний коефіцієнт. Порівняйте з теоремою Волстенголма, яка стверджує, що для будь-якого простого $p>3$ виконується таке порівняння:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})\equiv 2(\mathrm{mod}{p}^3).$

Через числа Бернуллі

Просте число Волстенголма це просте число p, що ділить (без остачі) чисельник числа Бернуллі $B_{p-3}$Шаблон:Sfn. Таким чином, прості числа Волстенголма є підмножиною іррегулярних простих чисел .

Через іррегулярні пари

Просте число Волстенголма $p$ — це просте число, таке, що $(p,p-3)$ є іррегулярною пароюШаблон:SfnШаблон:Sfnp.

Через гармонічні числа

Просте число Волстенголма $p$ — це просте число, таке, щоШаблон:Sfn

$H_{p-1}\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^3),$

тобто, чисельник гармонічного числа $H_{p-1}$ ділиться на $p^3$.

Пошук та поточний стан

Пошук простих чисел Волстенголма розпочався в 1960-х роках і триває досі. Останній результат опубліковано 2007 року. Перше просте число Волстенголма 16843 знайдено 1964 року, хоча результат і не було опубліковано в явному вигляді. Знахідку 1964 року потім незалежно підтверджено в Шаблон:Nobr. Це число залишалося єдиним відомим прикладом таких чисел майже 20 років, поки 1993 року не було оголошено про виявлення другого простого числа Волстенголма 2124679Шаблон:Sfn. На той час аж до 1,2 Шаблон:E не було знайдено жодного числа Волстенголма, крім згаданих двохШаблон:Sfn. 1995 року Макінтош (McIntosh) підняв межу до 2 Шаблон:EШаблон:Sfn, а Тревісан (Trevisan) та Вебер (Weber) змогли досягти 2,5 Шаблон:EШаблон:Sfnp. Останній результат зафіксовано 2007 року — до 1 Шаблон:E так і не знайдено простих чисел ВолстенголмаШаблон:Sfnp.

Очікувана кількість

Існує гіпотеза, що простих чисел Волстенголма нескінченно багато. Припускають також, що кількість простих чисел Волстенголма, які не перевищують $x$, має бути порядку $\ln \ln x$, де $\ln$ позначає натуральний логарифм. Для будь-якого простого числа $p\ge 5$ часткою Волстенголма називають

$W_p=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})-2}{p^3}.$

Ясно, що $p$ є простим числом Волстенголма тоді й лише тоді, коли $W_p\equiv 0(\mathrm{mod}p)$. З емпіричних спостережень можна припустити, що остача $W_p$ за модулем $p$ рівномірно розподілена на множині $0,1,\dots ,p-1$. З цих причин ймовірність отримання певної остачі (наприклад, 0) має бути близько $1/p$Шаблон:Sfn.

Див. також

• Просте число Вілсона
• Просте число Волла — Суня — Суня
• Просте число Віферіха

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation Шаблон:Webarchive
• Шаблон:Citation Шаблон:Webarchive
• Шаблон:Citation арх.
• Шаблон:Citation Шаблон:Webarchive
• Шаблон:Citation арх.
• Шаблон:Citation Шаблон:Webarchive
• Шаблон:Citation арх.
• Шаблон:Citation Шаблон:Webarchive
• Шаблон:Citation арх.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Посилання

• Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime — із довідника простих чисел
• McIntosh, R. J. Wolstenholme Search Status as of March 2004 — електронний лист до Пола Ціммермана (Paul Zimmermann)
• Bruck, R. Wolstenholme's Theorem, Stirling Numbers, і Binomial Coefficients
• Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums — цікаве спостереження, пов'язане з простими числами Волстенголма.