Приклад Адамара

Приклад Адамара ілюструє можливість некоректної постановки класичної задачі Коші.

Розглянемо наступну задачу Коші для рівняння Лапласа:

$u_{tt}(x,t)=-u_{xx}(x,t),t>0$;

$u{\mid }_{t=0}=0,u_t{\mid }_{t=0}=\frac{1}{k}\sin kx$.

Тоді нескладно показати, що розв'язком такого рівняння буде функція:

$u_k(x,t)=\frac{\mathrm{sh}kt}{k^2}\sin kx$.

При $k\to +\mathrm{\infty }$ видно, що $\frac{1}{k}\sin kx\rightrightarrows 0$ по $x$; звідси, розв'язок також повинен прямувати до нуля. Однак, у загальному випадку, коли $x\ne \pi n,n=0,\pm 1,\dots ,u_k(x,t)\to ̸0,k\to \mathrm{\infty }$. Тому, непервної залежності від початкових умов немає, і відповідно, задача поставлена некоректно.

Див. також

• Початкові і граничні умови

Література

• Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — Любое издание.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X

Посилання

• Коректність за Адамаром Шаблон:Webarchive