Правило Руффіні

Правило Руффіні — дієва техніка ділення многочлена на двочлен виду $x-r$. У 1804 році її описав Паоло Руффіні. Правило Руффіні є особливим випадком Шаблон:Нп коли дільник лінійний.

Алгоритм

Правило встановлює метод для ділення многочленів

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$

на біном

$Q(x)=x-r$

для отримання многочлена частки

$R(x)=b_{n-1}{x}^{n-1}+b_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_0$;

Насправді алгоритм є діленням стовпчиком P(x) на Q(x).

Для того, щоб поділити P(x) на Q(x):

1. Взяти коефіцієнти P(x) і записати їх по порядку. Потім записати r ліворуч, безпосередньо над лінією:

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \end{array}$

2. Спустити крайній лівий коефіцієнт (a_n) донизу, одразу під лінію:

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & & & & \\ & a_n& & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \end{array}$

3. Помножити крайнє праве число під лінією на r і записати наступним його над лінією:

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}r& & & \\ & a_n& & & & \\ & =b_{n-1}& & & & \end{array}$

4. Додати два значення щойно розташованих в одному стовпчику

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}r& & & \\ & a_n& a_{n-1}+(b_{n-1}r)& & & \\ & =b_{n-1}& =b_{n-2}& & & \end{array}$

5. Повторювати кроки 3 і 4 допоки є числа

   $\begin{array}{cccccc}& a_n& a_{n-1}& \dots & a_1& a_0\\ r& & b_{n-1}r& & & \\ & a_n& a_{n-1}+(b_{n-1}r)& \cdots & a_1+b_{1}r& a_0+b_{0}r\\ & =b_{n-1}& =b_{n-2}& \cdots & =b_0& =s\end{array}$

Числа b і є коефіцієнтами результовного многочлену (R(x)), ступінь якого на одиницю менша ніж степінь P(x). Останнє отримане значення, s, це остача. Як говорить теорема Безу, ця остача дорівнює P(r), значенню многочлена в r.

Використання

Ділення на многочлена на $x-r$

Робочий приклад ділення многочленів, як описано вище.

Нехай:

$P(x)=2x^3+3x^2-4,$

$Q(x)=x+1.$

Ми хочемо знайти $P(x)/Q(x)$ використовуючи правило Руффіні. Основна проблема, що $Q(x)$ це не біном виду $x-r,$ а швидше $x+r.$ Ми повинні переписати його так:

$Q(x)=x+1=x-(-1).$

Тепер застосовуємо алгоритм:

1. Виписуємо коефіцієнти та $r.$ Зауважимо, що оскільки $P(x)$ не містить коефіцієнта для $x^1,$ ми записали 0:

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

2. Спускаємо перший коефіцієнт:

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & & & \\ & 2& & & \end{array}$

3. Множимо останнє отримане значення на $r:$

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & -2& & \\ & 2& & & \end{array}$

4. Додаємо значення:

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & -2& & \\ & 2& 1& & \end{array}$

5. Повторюємо кроки 3 і 4 поки не завершимо:

$\begin{array}{ccccc}& 2& 3& 0& -4\\ -1& & -2& -1& 1\\ & 2& 1& -1& -3\end{array}$

$2,1,-1$ — коефіцієнти результовного многочлену,

$-3$ — остача.

Отже, якщо початкове число = дільник × частка + остача, тоді

$P(x)=Q(x)R(x)+s$, де

$R(x)=2x^2+x-1,s=-3;\Rightarrow 2x^3+3x^2-4=(2x^2+x-1)(x+1)-3.$

Посилання

• Шаблон:MathWorld